計算です

質問

1×( 2+3+…+n) + 2×(1+ 3+4+…+n) + …+ n×(1+2+…+(n-1) )
を計算して綺麗な形にしたいのですが、分かりません。教えて下さい。

第i項は、i×(1+2+…+(i-1)+ (i+1)+…+n)です。つまり、
第1項ではカッコの中で1が足されません。第2項ではカッコの中で2が足されません。
…。第i項ではカッコの中でiが足されません。…。第n項ではカッコの中でnが足されません。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

S＝1×( 2+3+…+n) + 2×(1+ 3+4+…+n) + …+ n×(1+2+…+(n-1) )
として
i番目の項にi^2を加えて後で引くと
Ｓ＝Σ_{i=1 to n}i(1+2+3+…+n)－Σ_{i=1 to n}i^2
　＝(1+2+3+…+n)Σ_{i=1 to n}i－Σ_{i=1 to n}i^2
　＝(Σ_{i=1 to n}i)^2－Σ_{i=1 to n}i^2
以下略．

[別解]
最初から(a+b+c)^2のように
(1+2+3+…+n)^2＝Σ_{i=1 to n}i^2＋Ｓ
を使った方がラク．(同じ数の２乗の項の和＋異なる２項の積の和)

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

sanpogo

与式に（1^2+2^2+3^2+・・・+n^2）-（1^2+2^2+3^2+・・・+n^2）を足します。
そうすると
（１＋２＋・・・＋ｎ）^2-（1^2+2^2+3^2+・・・+n^2）
になりますよね。
=(1/2)・n(n+1)Σ( k=1 to n )k-Σ( k=1 to n )k^2
　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　・
あとは＃１の方と同じです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Rossana

Σ( k=1 to n )[k×(1+2+…+(k-1)+(k+1)+…+n)]
=Σ( k=1 to n )[k×{Σ( m=1 to n )m-k}]
=Σ( k=1 to n )[k×{(1/2)・n(n+1)-k}]
=Σ( k=1 to n )[k×{(1/2)・n(n+1)-k}]
=(1/2)・n(n+1)Σ( k=1 to n )k-Σ( k=1 to n )k^2
=(1/2)^2・n^2(n+1)^2-(1/6)n(n+1)(2n+1)
=(1/12)・n(n+1)[3n(n+1)-2(2n+1)]
=(1/12)・n(n+1)[3n^2-n-2]
=(1/12)・n(n+1)(n-1)(3n+2)
計算ミスしていなければこれが答えです。

お礼

ありがとうございました。