整数の問題（高１）の質問

質問

今高１です。宿題が明日提出で頑張ってやっているのですが、次の２問がどうしてもわかりません。ご教授ください。

問．次の事を証明せよ。
(1)連続した４つの整数の積は24の倍数である。
(2)nは整数とする。このとき、n^3+5nは６の倍数である。

(1)は、(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)で考えると、計算は楽だったのですが、そこから証明できません。
(2)は……分かりませんでした。なんとなく、n^3+5n=(n-1)n(n+1)-n^2+6nが使えるかなぁ？とか思いましたが、できそうにありません。。（？）

回答No.1

NQI · ベストアンサー

「連続した４つの整数」は、一般に
n(n+1)(n+2)(n+3)
と記述します。

で、n=4m,4m+1,4m+2,4m+3とおいて、全ての「連続した...」が、８の倍数であることを証明します。それから、n=3l,3l+1,3l+2とおいて、同様に全ての「連続した...」が、３の倍数であることを証明します。これらより、全ての「連続した...」が、８の倍数かつ３の倍数であることから、２４の倍数であることがいえます。

＞n^3+5n=(n-1)n(n+1)-n^2+6n

これは、n=1のとき成り立たないので、絶対、間違っています。(n-1)n(n+1)+6nです。6nは、６の倍数なので、前の項が、6の倍数であることがいえればいいでしょう。（明らかですが...）

もっとスマートな方法があるような気もします。

お礼

早急のご回答ありがとうございました。

回答No.4

i536

失礼しました、回答がまちがい１２の倍数の証明になっていました。
下記でどうでしょうか？

１．連続する４つの整数は、４の倍数、３の倍数をすくなくとも１個含む。
４つの整数から、４の倍数、３の倍数をそれぞれ１個除いた、のこりの２つの整数のうち１つは偶数である。
したがって連続する４つの整数は２４の倍数である。

お礼

あ、なるほど！わかりました。ありがとうございました。

回答No.3

Mell-Lily

(1)
連続した4つの整数には、2の倍数が2つ、3の倍数が1つ、4の倍数が1つ、必ず入っています。2つの2の倍数ののうち、一方は、4の倍数ですから、その積は、2×4×3=24の倍数になっています。
(2)
NO1の方の解き方でいいでしょう。
　n^3+5n=n^3+(-n+n)+5n=(n-1)n(n+1)+6n

お礼

(2)は僕が計算ミスをしていただけみたいですね笑
ありがとうございました。

回答No.2

i536

ほかにもっといい方法があるかもしれませんが・・・

１．連続する４つの整数のうち、最小の偶数を2mとおくと、
その積は、2m(2m+1)(2m+2)(2m+3)あるいは(2m-1)2m(2m+1)(2m+2)となります。
どちらも、３の倍数をすくなくとも１個と、偶数２個{2m,2m+2}を含みます。

２．n^3+5n=n(n^2+5)=n(n^2-1+6)=(n-1)n(n+1) + 6n、
連続する３つの整数の積は６の倍数、6nも６の倍数なので、全体も６の倍数です。