数学の発展問題です。 解き方を教えて下さい。

質問

閲覧ありがとうございます。
いつもお世話になってます。

縦1,4mの絵が垂直な壁に掛かっていて、絵の下端が目の高さより1,8m上方の位置にある。
この絵を、縦方向に見込む角度が最大となる位置は、壁から何mの所か？

問題を解くプロセスを教えてください。
よろしくおねがいします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

ヒントを使って、
tanα=1.8/x、tanβ=3.2/x
加法定理から　tan(β-α)={(3.2/x)-(1.8/x)}/{1+(3.2/x)*(1.8/x)}
整理すると(1.4/x)/(1+5.76/x^2)
小数でない形にして　(7/5x)/(1+144/25x^2)
分母、分子に5x/7をかけて　1/{(5x/7)+(144/35x)}
分母で相加相乗の関係から　(5x/7)+(144/35x)≧2√(144/49)
等号は5x/7＝144/35x、つまりx=12/5（x＞0なので）のとき。
1/{(5x/7)+(144/35x)}は分母が最小のとき全体としては最大なので
x=12/5のとき最大。

お礼

回答ありがとうございます。
丁寧で、ひとつひとつ理解できました。

回答No.2

info22

θ=f(x)=β-α=arctan((1.4+1.8)/x)-arctan(1.8/x) [rad]
度数法の角度にするには (180/π)の係数を掛ければよい。

f'(x)=-35(5x-12)*(5x+12)/((25x^2+81)(25x^2+256))
f'(x)=0となるxは　x=12/5=2.4 [m]
0<x<2.4でf'(x)>0
2<xでf'(x)<0
なので
x=2.4[m]で
θ=f(x)は最大値θmaxをとる。

θmax=f(12/5)=arctan(3.2/2.4)-arctan(1.8/2.4)≒0.28379...[rad]

度数法に直すと
θmax≒16.3[°]

お礼

回答ありがとうございます。
グラフまでつけていただき感謝しています。

回答No.1

bgm38489

ご参考までに。
http://homepage2.nifty.com/tangoh/kaku050128.html