回転による円と直角による円の関係

質問

コンパスをグルリと回転させれば円が描けますが、直角を使えばまっすぐなものだけでも円が描けると思います。イメージとして，垂直の壁を持った広い部屋があったとして、一本の物干し竿の下端を床につけ垂直に壁に密着させます。この物干し竿を垂直の方向に下端を床に接しながら滑らせて倒していくと、この物干し竿の中点が描く軌跡は円周の４分の１の部分になると思います。この場合には一点の周りの回転というものは必要ではないと思います。後の方は直角が与えられれば回転はなくても描ける円ということで回転による円とは起原が違うように思うのですが・・・数学的には回転と直角はどこかで結びついているものなのでしょうか？

回答No.2

kochory · ベストアンサー

最終的には「円の半径の円周角は直角である」ってことに
尽きるわけですが、今の場合ちょっとひねりが入ってますね。

壁と床の接する点をO、棒と壁の接する点をA、
棒と床の接する点をBとすると、ABの中点（Mとしましょう）
とOとの距離が常にABの長さの半分になるということが導かれます。
どうしてそうなるかというと、三角形OABは常に直角三角形
なので、OABの外接円の中心はABの中点、すなわち点Mになり、
よってMからO,A,Bへの距離は常に等しいということに
なるからです。

で、OとMの距離を等しく保ったままMを移動させていっているので、
間接的にOを中心とした円が描かれるということになります。
Mを中心にして円を描こうとすると#1さんの回答のように
なりますが、いまの場合、Oを中心にした円を考えるところに
ひねりが入ってるわけですね。
やっていることは「ある中心点からの距離を一定にしたまま
注目する点を動かす」ということで、しかも「距離を一定」に
するのに直角三角形を使うという点で両者は似たような
操作をしているわけですが、「注目する点」が異なるいうのが
大きな違いになっているわけですね。

お礼

ご教示をいただいて改めて私も再度考えてみたいと思いました。有難うございました。

回答No.3

quantum2000

直角と円周との関係については、No.１さんやNo.２さんのご指摘の通りですが、円周の一部分は、直角に限らず、鋭角や鈍角でも描けると思われますので、ちょっと述べてみたいと思います。

(1) 円周角の定理（の逆）により、１つの線分ＡＢを見込む角ＡＰＢが一定であるような点Ｐは円弧を描きます。ここで、角ＡＰＢは鋭角でも鈍角でも直角でもかまいません。

(2) そして、角ＡＰＢが直角の場合が、今回のご質問に関係した場合で、線分ＡＢは直径になり、その中点Ｍは円の中心になっています。つまり、点Ｐは中点Ｍを中心とする円弧を描きます。

(3) このとき、見方を変えると、点Ｍは点Ｐを中心とする円弧を描いていると捉えることができます。これが、今回kaitaradouさんがご質問のなかで指摘された「垂直な壁と物干し竿で描く円弧」のケースではないでしょうか。No.２さんのご指摘の通りです。

(4) つまり、「円」という図形は元々は回転とは関係なく、「定点からの距離が一定な図形」という定義が一般的だと思います。ただ、具体的に作図する時にはよくコンパスを使って描いたり、「回転」というものには必ず「円」が伴いますから、「円」には必ず「回転」が必要、という感じがあるのではないでしょうか。

(5) 蛇足ながら、(1)より、「垂直な壁」や「真っ直ぐな物干し竿」でなくても、円弧を描くことができます。つまり、鋭角でも鈍角でもよいから１つの角ＹＯＸをとり、ＡＰ＝ＢＰである二等辺三角形ＡＰＢを、点Ａ、Ｂがそれぞれ半直線ＯＹ、ＯＸ上にあるように描きます。ここで、角ＡＰＢは（１８０°を超える場合もありますが）角ＹＯＸの２倍とし、また、点Ｐは線分ＡＢについて、角ＹＯＸが鋭角の場合は点Ｏと同じ側に、また角ＹＯＸが鈍角の場合は点Ｏと反対側にあるように取ります。
このとき、やはり円周角の定理（の逆）から、点Ｏは線分ＡＢを弦とする円弧（点Ｐを中心とし、半径がＰＯであるような円弧）を描きます。ちょうど、弦ＡＢ（正式には弧ＡＢ）に対して、角ＡＯＢが円周角、角ＡＰＢが中心角となっていますから。
このとき、見方を変えると、点Ｐは点Ｏを中心とし、半径がＯＰであるような円弧を描いている訳です。

(6) ここで、角ＹＯＸが直角の場合は、角ＹＯＸが「垂直な壁と床」になり、「二等辺三角形ＡＰＢ」は「つぶれ」て、「物干し竿」になります。

お礼

どうもご丁寧にご教示有難うございます。ただ円がもともと回転と関係がないということには何か疑問が残るのですが・・・

回答No.1

neKo_deux

> 垂直の壁を持った…

数式を使っても円になる事が証明できると思います。
挑戦してみると面白いかも。

--
円の直径になる２点から円周上のある一点に２本の線を引いた時、線分は直角に交わるという特徴がありますね。

　　釘―――ゴム―――釘

のような状態からゴムが直角になるようにペンで引っ張って点を打っていくと、円になります。

お礼

早速ご教示有難うございます。