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剛体の力学(入試の問題)
この問題の解答がなくて困っています。どなたか解き方と解答を教えていただけませんか? 長さL、質量mの棒が壁に立てかけてある。壁面と棒が接触している点をQ,床と棒が接触している点をPとする。また壁面は床と垂直であり、壁面は滑らかであり、棒と壁の静止摩擦係数および動摩擦係数は0。質量Mの人が下端Pから登っていく。 問2 人が棒の中央まで来たときに、下端Pが滑る。棒がすべりながら倒れている途中の棒と壁面のなす角をθとする。このθに関する微分方程式を導け。ここで棒と床の間の動摩擦係数は0とし、人は常に棒の中央で棒と一体となっている。 問3 上端Qは壁面に沿って滑り落ち始めるが、θがある角度以上になると、棒の上端Qは壁面から離れる。棒が壁から離れるときの角度を求めよ。
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- Meowth
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角を原点として 角から床にそってx軸、壁にそってy軸をとれば P:L(sinθ,0) Q:L(0,cosθ) とおける。 重心(中央)の座標xは x=L/2(sinθ、cosθ) 見やすくするため、 d^2θ/dt^2=A dθ/dt=ω とおけば、 重心の運動速度vは v=dx/dt=L/2・dθ/dt・(cosθ,-sinθ) =L/2・ω・(cosθ,-sinθ) 加速度aは a=dx/dt=L/2{d^2θ/dt^2(cosθ,-sinθ)-(dθ/dt)^2(sinθ、cosθ)} =L/2{A(cosθ,-sinθ)-ω^2(sinθ、cosθ)} 壁面からの反力(垂直抗力)Rは R=(R,0) 床からの反力(垂直抗力)Nは N=(0、N) (ダランベールの原理による)つりあいの式は (0,N)+(R,0)+(0,-(M+m)g) -(M+m)L/2{A(cosθ,-sinθ)-ω^2(sinθ、cosθ)}=0 R-(M+m)L/2{Acosθ-ω^2sinθ}=0 N-(M+m)g-(M+m)L/2{-Asinθ-ω^2cosθ}=0 長さLの均一な細い棒の中心を通って 棒に垂直な軸の周りの慣性モーメントをIとすると I=L^2M/12 モーメントのつりあいは L/2(Nsinθ-Rcosθ)-IA=0 まとめると支配方程式系は L/2(Nsinθ-Rcosθ)-IA=0 R=(M+m)L/2{Acosθ-ω^2sinθ} N=(M+m)g+(M+m)L/2{Asinθ+ω^2cosθ} 見やすくするため、無次元量を導入し、 t=√(L/g) t* R=(M+m)g R* N=(M+m)g N* I=(M+m)L^2 I* とおいて、さらに簡単のため、t*,R*,N*,I*は*を省略して t,R,N,Iと書けば、 (Nsinθ-Rcosθ)-2IA=0 2R={Acosθ-ω^2sinθ} 2N=2-{Asinθ+ω^2cosθ} となる。 2Nsinθ-2Rcosθ=4IA (2-{Asinθ+ω^2cosθ})sinθ-{Acosθ-ω^2sinθ}cosθ=4IA {A(sinθ)^2+ω^2cosθsinθ}+{A(cosθ)^2-ω^2sinθcosθ}=2sinθ-4IA (1+4I)A=2sinθ A={2/(1+4I)}sinθ これがθに関する微分方程式 [有次元に戻してI=L^2M/24を代入すれば、 d^2θ/dt^2=(g/L){6(M+m)/(4M+3m)}sinθ エネルギー積分すれば、 dθ/dt・d^2θ/dt^2={2/(1+4I)}sinθdθ/dt 1/2(dθ/dt)^2=-{2/(1+4I)}cosθ (dθ/dt)^2=-{4/(1+4I)}cosθ+const 初期に静止しているとすれば、 θ=θ0:dθ/dt=0 (dθ/dt)^2={4/(1+4I)}(cosθ0-cosθ) 2R=Acosθ-ω^2sinθ=0 となるのは A={2/(1+4I)}sinθ ω^2=2{2/(1+4I)}(cosθ0-cosθ) を代入すれば、 sinθcosθ-2(cosθ0-cosθ)sinθ=0 cosθ=2/3cosθ0
- yokkun831
- ベストアンサー率74% (674/908)
ANo.1さんのでよいのですが、ラグランジュ方程式はだめですか? よりすっきりと出てきます。人は質点と考えてよいのですよね。 T=(3M+4m)/24 L^2θ'^2 U=(M+m)g・L/2・cosθ L=T-U として運動方程式をたてると、 θ''=6(M+m)/(3M+4m)・g/L・sinθ となります。 問3は、やはりR=0よりθ''=θ'^2tanθ これを微分方程式に代入して、 θ'^2=6(M+m)/(3M+4m)・g/L・cosθ θの初期値θ0とすると、エネルギー保存に上を代入して cosθ=2/3 cosθ0 を得ます。
- kashimezai
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途中まで計算したところ結構大変そうです。 あとエネルギー保存の式をたてないとスマートにいかなそうです。
- kashimezai
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壁面と床の交差点を原点OとしてOP方向にy軸、OQ方向にx軸を取る。 系にかかる力はQにおいて(R,0)、Pにおいて(0,N)、重心において(0,-(M+m)g) 重心回りの慣性モーメントをIとすると、回転の運動方程式は Iθ"=N*L/2*sinθ-R*L/2*cosθ 重心の位置を(x,y)とすると、重心の並進運動方程式は (M+m)x"=R (M+m)y"=N-(M+m)g 拘束条件として重心の位置をθで表わすと vec(OG)=1/2(x,y)=1/2(Lsinθ,Lcosθ) これで未知数R、N、θ、x、yに対して5本の式が得られたので、θについて解いてください。 問3はやってないですが、R=0となるときのθを求めたらいいと思います。 院試ですか?お互い頑張りましょう(笑)