ご質問の例文は、みんなヘンな日本語です。
その例文の「次第」は、下の辞書の最後の接尾辞(3)の使い方と同じように見えますがヘンですね。
「次第」という言葉は、１００％「続いてすぐに」ということではありません。
「次第」という言葉には、辞書の他の個所に出ているように、物事がたどった「道筋」、「事情」、「いきさつ」という意味があります。
「次第」いう言葉は、順番、順序という意味から、「理由」や「一部始終」のような意味まであります。
そういうことですから、「続いてすぐに」という意味のところは、みんな「次第に」してもよいと、思うと大間違いです。
少しでも事情説明のような形の文になっていないと合いません。
ですから、
「風呂に入り次第寝ました」というような文はヘンなのです。
このような文には「次第」という勿体ぶった言葉は合いません。
「風呂に入りすぐに寝ました」でいいのです。
まあ、次のような感じになります。
風呂に入り次第寝ることにしています⇒○
風呂に入り次第寝ることになりました⇒○
風呂に入り次第寝ました⇒×
そういうことで質問者さんのご見解は正解。
Goo辞書 【次第】しだい
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（名）
(1)順序。
「式の―」「車の―定めにくければ/宇津保（楼上・上）」
(2)現在に至るまでに、物事がたどった道筋。事情。いきさつ。
「事の―を話す」「かような―で面目ない」「事と―によっては一肌脱ごう」
(3)謡曲の詞章の名。七五・返句・七四、または七五の句から成り、多くは脇役の登場第一声として謡われ、役の意向や感慨を述べる。また、曲中で曲舞(くせまい)や乱拍子の序歌として謡われることもある。
(4)順序を追ってすること。順序よく並べること。
「仏名の所、大徳たち、―してひきゐて七八人参る/宇津保（嵯峨院）」
（接尾）
(1)名詞に付いて、その人の意向、またはその事物の事情いかんによるという意を表す。
「どうするかはあなた―だ」「とかくこの世は金―」
(2)動詞の連用形に付いて、動作が行われるままにという意を表す。
「成り行き―」「手当たり―に投げつける」
(3)動詞の連用形または動作性の名詞に付いて、その動作に続いてすぐにという意を表す。
「満員になり―締め切る」「送金―現物を送る」
