高次方程式の問題です

質問

xの3次の方程式P(x)=kx^3-(3k+1)x^2-(k^3-2k^2-k-3)x+(k-2)(k^2+1)があり、P(1)=0である。ただし、kは定数で、0<k<1である。
方程式P(x)=0を解け。

P(x)はx-1を因数にもつから
P(x)=(x-1){x^2+(-2k-1)x+(-k^3+2k^2-k+2)}
ここでQ(k)=-k^3+2k^2-k+2とすると
Q(2)=0
となり
Q(k)はk-2を因数にもつから
Q(k)=(k-2)(2k^2-1)
よって
P(x)=(x-1){x^2+(-2k-1)x+(k-2)(2k^2-1)}

・・・このように考えてみたのですがここからどうしたらよいのかわかりません。
そもそもここまではこれで合っているのでしょうか？

どなたか教えてくださると助かります。
どうかよろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

>P(x)はx-1を因数にもつから
>P(x)=(x-1){x^2+(-2k-1)x+(-k^3+2k^2-k+2)}
ここで転記ミスをしていますね。
P(x)=(x-1){kx^2+(-2k-1)x+(-k^3+2k^2-k+2)}

従って
>ここでQ(k)=-k^3+2k^2-k+2とすると
として
>Q(k)=(k-2)(2k^2-1)
とするところでも転記ミスをしています。
Q(k)=-(k-2)(2k^2-1)

>よって
>　P(x)=(x-1){x^2+(-2k-1)x+(k-2)(2k^2-1)}
この式もすでに2箇所のミスが入っていますので先に進めるはずがないでしょう。もっとミスをなくすようにしないとできる計算も先に進めなくなります。
P(x)=(x-1){kx^2+(-2k-1)x-(k-2)(2k^2-1)}
=(x-1)(x+k-2)*(kx-k^2-1) ←たすき掛け法で因数分解
kの二乗項が打ち消しあってその和が一次の「-(2k+1)」となる組合せを探す。

P(x)が因数分解できたので解けますね（kは条件からk≠0です）。

>P(x)=(x-1){x^2+(-2k-1)x+(k-2)(2k^2-1)}
=

お礼

解決しました！
本当にありがとうございます。

組立除法で計算したのですが、根本的に間違っていたようで…
精進します！
詳しい解説、本当に助かりました。

回答No.2

iwacame

高校数学！
なつかしいですねー

ちょっとスマートな解答は思いつきませんが、
P(x)はx-1を因数にもつから
P(x)=k(x-1)(x^2+px+q)
なんて置いて考えてみるのはどうでしょう？？
で、分解して、係数同士を比べてみるといいかもしれないですね

かなり最後は力技になってしまいますが・・・笑
誰か他にもっとスマートな解答をお願いします。

＞P(x)はx-1を因数にもつから
P(x)=(x-1){x^2+(-2k-1)x+(-k^3+2k^2-k+2)}
ってところは、ちょっと間違えているような気がします。

お礼

回答ありがとうございます！
こういう考え方もできますね！

回答No.1

naniwacchi

少し計算に間違いがあると思います。

＞P(x)=(x-1){x^2+(-2k-1)x+(-k^3+2k^2-k+2)}
{ }について、x^2の係数は kがつきます。

＞Q(k)=(k-2)(2k^2-1)
前から順番にくくっていくと因数分解ができます。
Q(k)= -k^2*(k-2)- (k-2)

これらを用いると、{k*x^2+…}も因数分解できます。
x^2にも係数 kがついてくるので、たすきがけの形に書くといいと思います。

お礼

回答ありがとうざいます！
もっと自分で見直すべきでした…