数Ⅲ 極限値

質問

画像の48番の（２）です

回答No.2

-somebody-

与式がすこしみづらかったので

lim (a^2sin^2x-x^2sin^2a)/(x-a)
x→a
(a^2はaの二乗、sin^2xはsinxの二乗の意味。)
これで合っているか確認してください。
以降の式はこの式を基にしていますので
もしこの式が間違っていましたらば
お手数ですが式のどこが違うかご指摘ください。

(a^2sin^2x-x^2sin^2a)/(x-a)
こういう式は
「上手に微分の公式に持っていけるように、足し算と引き算をうまくやる」
というのが鉄則です。
もしかしたら
数学IIIの微分の種々の公式の証明でお目にかかっているかもしれませんが

(a^2sin^2x 「-a^2sin^2a」「+a^2sin^2a」-x^2sin^2a)/(x-a)
(かぎカッコはただの強調です。あと、極限の記号も少し省かせてください。)

分解してやると
a^2×(sin^2x-sin^2a)/(x-a) +sin^2a(a^2-x^2)/(x-a)

前半部分の(sin^2x-sin^2a)/(x-a)はsin^2xの微分の公式で
更に詳しく言えば、x=aの値を代入した時の値ですよね？
(定義の形だと思います。)

後半部分は
sin^2a(a-x)(a+x)/(x-a)となって
-sin^2a(a+x)
あとはx=aを代入(極限をとる)してやれば
2・a^2・sina・cosa-2a・sin^2a
となると思います。

ロピタルの定理(極限が不定形となるとき、分子と分母を微分した極限の結果が元の極限の結果になる)を使えばすぐ出てきますが
もしこの「足して引く」解法を覚えていないなら是非覚えましょう。

お礼

画像見にくくてほんと申し訳ありません(T_T)
与式はそれで合ってます☆

すごくわかりやすい説明ありがとうございます(;。;)

回答No.1

naniwacchi

問題の式は、以下のとおりで合っていますか？
lim[x→a] {a^2* sin^2(x)- x^2* sin^2(a)}/(x-a)

であるとして、以下にヒントを
分子に細工をします。
(分子)= a^2* sin^2(x)- a^2* sin^2(a)+ a^2* sin^2(a)- x^2* sin^2(a)

第2項と第3項が追加した項ですが、差引ゼロになるので式の値は変えません。
あとは、
・前2項と後2項をそれぞれ因数分解し、
・微分係数の定義をどこかで利用します。

お礼

x→aで合ってます！