数学の質問です。微分の勉強をしていると・・・

質問

「えっ？」と思う問題に遭遇してしまいまして。

【問題】
定円に内接する長方形のうちで、面積が最大のものを求めよ。

【解答】
正方形

というものです。
詳しい導出過程が記載されていない教科書なので、どうして正方形が定円に内接する長方形のうちで面積が最大になるのか、その過程と結論が全くわかりません(>_<)

似たような疑問↓
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1326725753

もあったのですが、どう応用すればよいのやら・・・そもそも「定円」とは、普通の「円」と違うのでしょうか？
Googleで定円を検索しても、鎌倉時代の人物とかが出てきてしまいまして・・・その謎も残ったままです。

よろしくお願いします(>_<)

回答No.11

Rice-Etude · ベストアンサー

No.2です。

No.9のお礼欄に書かれていることで、間違いはありません。

あるいは、αの角度が90度と判明した時点で、「二つの対角線が90で交わる長方形は正方形のみなので、定円に内接する長方形で面積が最大になるのは正方形」としても良いと思います。

この問題は、他の方が書かかれている通り、いろいろな解き方があります。「最大なのは正方形」と納得できた上でそれらを見返せば、理解できるところもあると思います。また、解答までのアプローチがいくつもあって、それでも同じ結論になるところが数学の面白いところでもあるので、ぜひ他の方の解き方でもチャレンジしてみてください。

お礼

ありがとうございます、Rice-Etudeさんのおかげで、なんとか解答にたどりつくことができました！
本当にありがとうございます<m(__)m>

回答No.12

noname#99245

回答Ｎｏ６のpokinonです。高校生ではなかったのですね。早合点をして、まことに失礼いたしましたm(_ _)m
さて、『工科の数学 微分積分』（森北出版）をジュンク堂に見に行ってきました。この問題の上には例題「円に内接する三角形で、面積が最大になるのは？」がありましたね。この個所までに、すでに無理関数や三角関数の微分も習っておられることになっているので、解答の方法はそれらを使ってもいいことになりますね。（高校の数学でいえば、数学IIIの知識でもいいことになります。）
いままでに、いろいろな方の回答があるので十分だとは思いますが、なにか別の解があれば、お知らせします。
余談ですが、昔ながらの大学生向きのこの手の本って、解答が不親切ですね。これだって、「正方形」のひとことだけですから(^_^;)

お礼

わざわざ書店で確認までしていただきありがとうございます！
pokinonさんがおっしゃるように、不親切な教科書です(笑)
私は文系出身なので、数IIIはよく知りません。無理関数や三角関数の微分は、やったようなやらなかったような…(^_^;)
微分で解く方法は全く思い浮かびませんので、お気が向かれましたら、何らかのコメントをいただければ嬉しいです！
よろしくお願いします<m(__)m>

回答No.10

arrysthmia

←No.7 補足

s は、無制限ではありません。
これは、二次方程式の実数解条件に関する
典型的な問題のひとつです。

x^2+y^2 = R は、
更に x+y = w と置いて、
w^2 - 2s = R と表せます。

xy = s, x+y = w となる x,y が
存在するための s,w の条件は、
二次方程式 t^2 - wt + s = 0 の
判別式を使って w^2 - 4s ≧ 0 ですから、

求める s の範囲は、与えられた R に対して
w^2 - 2s = R, w^2 - 4s ≧ 0 を満たす w が
存在するような s。すなわち、s ≦ R/2 となります。

これの等号成立は、判別式 = 0 の場合ですから、
x,y が二次方程式の重根となって、x = y。
よって、面積最大の場合は正方形　と判ります。

お礼

補足ありがとうございます(>_<)
arrysthmiaさんのやり方を理解しようと試みたところ、ちょっと疑問が湧きまして。

x^2+y^2
→w^2-2s=R

w^2-2s=R,w^2-4s≧0のとき
→s≦R/2

に関しては理解できるのですが、

xy = s, x+y = w となる x,y が
存在するための s,w の条件は、
二次方程式 t^2 - wt + s = 0 の
判別式を使って w^2 - 4s ≧ 0 ですから・・・

という箇所が、よくわかりません(ToT)

二次方程式の実数解の条件に関して、私の持っている青チャートII+Bに、

ax^2+bx+c=0(a≠0)の判別式をD=b^2-4acとする。
D≧0　⇔　実数解をもつ
・・・

といったことが書いてるのですが、arrysthmiaさんが書いてくださった

t^2 - wt + s = 0

は、ax^2+bx+c=0の形にも見えませんし、そもそもどうして「t」という新たな変数が出てくるのでしょうか？

何度もすいませんが、お暇な時に、理由をお答えいただければ幸いです。
よろしくお願いします(>_<)

回答No.9

Rice-Etude

No.2です。

まずNo.8のお礼欄に書かれている
＞sinα=r/PH
は間違いです。sinα=高さ÷斜辺ですので、分母・分子が逆です。

さて、記号を使わせていただくとして、
sinα=PH/r
ということは
r・sinα=PH
となります。

ここで『PH』はNo.8でいうところの「対角線（ターレスの定理より直径になる）を底辺とみなした場合」に対する『高さ』に相当します。対角線は直径、すなわち2rですので、三角形の面積の公式に当てはめれば、この直角三角形の面積はrとsinαで表すことができます。

＃「対角線が底辺」というところがキーです。

そうすれば、rの値は動かせないから…

…というところで、もう一度No.8を見直してください。

お礼

ありがとうございます、Rice-Etudeさんのおかげで、なんとなくわかりました！
底辺(対角線)が2r、高さ(PH)がr・sinαということで、三角形の面積は、

底辺×高さ÷2
=2r×r・sinα÷2
=r^2sinα

と、rとsinαだけで表すことができました！
この三角形が二つ合わされば、定円に内接する長方形を作れるということなので、面積は「2r^2sinα」だと思われます。

2r^2sinαにおけるrは固定されているので、sinαが最大になる時を考えればいいのですよね？
ちょっと迷ったのですが、

ココ↓
http://questionbox.jp.msn.com/qa1797200.html

によると、Sin90゜のとき+1で最大、Sin270゜のとき-1で最小らしいので、sinαが最大になる時は、α=90°。
このとき、辺の比は1:1:√2。
また、4辺の長さは全て√2r、長方形の4角は全て90°になり、正方形の定義「全ての角が90℃で、全ての辺の長さが等しい」を満たすことから、定円に内接する長方形は、面積が最大の時、正方形になる・・・

これで、問題ないでしょうか？(>_<)

回答No.8

Rice-Etude

No.2です。

ターレスの定理はご理解いただけたようですので、もう少しヒントを書きます。

長方形の面積は、対角線を1辺とする直角三角形2つ分です。この直角三角形の面積は、対角線（ターレスの定理より直径になる）を底辺とみなした場合、高さを半径の長さとαを使って計算できれば求めることができます（ここで三角関数を使います）。

あとは、三角関数の値の範囲から面積の最大値を求められ、そのときのαの角度を考えれば判明します。

お礼

ヒントありがとうございます！
でもすいません、ここまでヒントをいただいたというのに、まだ解けません(ToT)
∠α以外の2つの角、「∠180°-α/2」は、使う必要はありませんか？

高さは変化するので、対角線と円の交点をPとでも、置かなければなりませんよね？

Pから降ろした垂線をH、円の中心をOとすると、三角関数を使えば、

sinα=r/PH
cosα=r/OH
tanα=OH/PH

とかにはなりますが・・・不確定の値が多すぎですよね、全然解に近づけません。。。
すいません、もう1つヒントをいただけないでしょうか(>_<)
お願いします<m(__)m>

回答No.7

arrysthmia

←No.4 補足

x^2+y^2 = R は、原点中心、半径 √R の円の方程式です。

お礼

あっ、そうですよね、√Rが半径になりますよね、円の方程式に基づけば(^_^;)
でも実数解というのは、小数も、分数も、有理数も無理数も含むんですよね？
そしたら実数解は無数にあると思うのですが・・・sの範囲も無限ではないのですか？

回答No.6

noname#99245

おたずねの問題には、いろいろな解答が考えられると思います。いままでの回答者の方も示されているように、微分を使わないでも結論（正方形）は求めることができます。

ところが、あえて＜微分の練習としての＞問題ということなんでしょうね。

「詳しい導出過程が記載されていない教科書なので」とお書きですが、教科書の書名はわかりますでしょうか？数学IIの微分で解くのか、それとも数学IIIの微分で解くのかによって、解法も変わってくるように思いますので。

お礼

『工科の数学 微分積分』
http://www.amazon.co.jp/%E5%B7%A5%E7%A7%91%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E7%AC%AC2%E7%89%88/dp/4627049323

の、p30に掲載されている問題です。

大学の数学で使用している教科書なので、数IIIも含むのでしょうか・・・
よろしくお願いします<m(__)m>

回答No.5

Ishiwara

定円とは「与えられた円」という意味です。

この円に内接する非常に接近した２つの長方形を描きます。その面積差は、細長い「たんざく」形の部分で確認できます。すると、正方形に近いほうが大きいことが分かります。常にそうであれば、正方形の場合が最大であるという結論が出ます。

お礼

なるほどです！
でもその事実をどう数式にしていけばいいのかが問題なんですよね・・・(ToT)

回答No.4

arrysthmia

座標平面上に図を書いて、状況を確認しましょう。
これは、x~2+y~2 の値が決められていて、
xy の最大値を求めよ…という問題です。

x~2+y~2 = R
xy = s
が実数解 x,y を持つような
s の範囲を求めればよく、
二次方程式の解の存在条件に帰着されます。

数Iです。微分は使いません。

お礼

「x^2+y^2 = R」って、何の式ですか？
「x^2+y^2 = R^2」は、円の方程式だと、数IIで習ったことがあるのですが・・・

すいません、再度アドバイスいだければ幸いです(>_<)

回答No.3

un5931

もう納得されたかもしれませんが…
微分を使う方法なら、

(1)適当な円を自分で決めます。半径をｒかなんかでおくといいです。
(2)その円に内接する長方形の一辺をxとおきます。
(3)三平方の定理より、長方形のもう一辺の長さがxとrで表せます。
(4)(3)から長方形の面積がxとrで表せます。
(5)(4)で得られた面積の関数をxで微分して…

でいいのでは？

お礼

全然理解できていないです、貴重なコメントありがとうございます！
un5931さんのアドバイス通り、考えてみました。
半径をr、長方形の一辺をxとすると、

円の中心から弦に下ろした垂線は，弦を2等分する↓
http://www.nipec.nein.ed.jp/cec/tyugaku_sugaku/09_zukeinoseisitu_2/02_tyokukakusankakukei/e1cyk3.jpg

そうなので、円の中心から降ろした垂線と、長方形の1辺との交点が作る線の長さをyとすると、三平方の定理によって、

([1/2]x)^2+y^2=r^2
y^2=r^2-([1/2]x)^2
y^2=(r+[1/2]x)(r-[1/2]x)
y=√(r+[1/2]x)(r-[1/2]x)

これで、円の中心から降ろした垂線y(長方形の1辺の長さの半分)を、xとrで表すことができたので、長方形の面積をSとすると、

S=x・2√(r+[1/2]x)(r-[1/2]x)
S=√x^2・2√(r+[1/2]x)(r-[1/2]x)
S=2√x^2(r+[1/2]x)(r-[1/2]x)

ここで、「(5)得られた面積を微分」ということで、下記リンクの「平方根の入った関数の微分」
http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/geomath/bibun-03.html
を参考に、微分を試みました。

x^2(r+[1/2]x)(r-[1/2]x)=z

とおくと、

S=2√z=2・z^1/2

zで微分すると、
dS/dz=2・(1/2)z^1/2-1
dS/dz=2・(1/2)z^-1/2
dS/dz=2・(1/2)√z^-1
=2・1/2√z
=1/√z

・・・

すいません、ここでわけわからなくなってしまいました(ToT)
何で面積の値を微分しているのか、1/√zという値が出てきても、それが「正方形の時に面積が最大」という解答に全く結びつきません(>_<)
un5931さんがおっしゃる通りにやってみたのですが・・・すいません、可能であれば、再度ご回答いただきたいです。
よろしくお願いします<m(__)m>

回答No.2

Rice-Etude

なぜ微分のところで出てきたのかが謎ですが...

答えを直接書くのは何なので、ヒントを書いておきます。

１．ターレスの定理
２．対角線の長さと対角線同士の交点での角度が分かっている場合の長方形の面積（三角関数を使って...）

がんばって考えてみてください。

お礼

ターレスの定理は、以下のリンク先を参考にして、わかりました。
http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/syoumei1.shtml
円に内接する長方形の対角線は必ず円の中心を通る。
つまり、円に内接する長方形の対角線の長さは、円の直径となる。
そして、直径の両端から円周上の1点に線を引いて三角形を作れば、必ず直角三角形になる・・・

といった感じだと思われます。

で、Rice-Etudeさんが添付してくださった画像を参考にすると、∠αが作る三角形は、二等辺三角形になっているようでして。

答えは「正方形」なので、α=90°であれば、∠αが作る三角形は直角二等辺三角形となり、辺の比は1:1:√2になるらしいですね↓
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1312836933
つまり半径をrとすれば、1辺が√2rの正方形の時に、面積は最大だと。

問題は、その事実をどうやって導くかですが・・・

すいません、お暇な時に、もう少しヒントをいただけないでしょうか？(>_<)
三角関数を使って、「面積は正方形の時に最大になる」と、どうして判明するのかわかりません・・・(ToT)