数学の質問です。角材の強度を求める問題の解き方(比例定数を用いる理由など)が、よくわかりません。

質問

数学の問題で困ってます(;_;)

以前、コチラ↓
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1131675726
で、以下の問題について質問しました。

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問題：
角材の強さは断面の横の長さxと縦の長さyの2乗の積に比例するものとする。
断面が直径acmの円形である材木から断面が長方形の角材を作るとき、
最も強い角材を作るには、xとyの比をどのようにすればよいか。
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すると、ご回答してくださった方がいらっしゃったのですが、数学が苦手な私では、回答の内容がよく理解できなかったのです(ToT)

問題では、横の長さがx、縦の長さがyと定義しているのに、そこから「横の1/2がx」と、条件を変更されているのです。

円に内接する長方形は左右対称↓
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1130388376
らしいので、x^2+y^2=r^2という円において、この問題におけるx座標に相当するのは「1/2x」であると、私は思ったのです。
そして、ここから同じように式を展開してみたところ・・・

(横)*(縦^2)=(1/2)x・{√(r^2-[(1/2)x]^2)}^2
=2x・(r^2-[1/4]x^2)・・・(1)

わかりにくい数式ですいません(添付画像と同じ式です)。
私の計算では、(1)式になってしまったのです・・・。

たぶん私が間違っているので、間違いを指摘していただければ幸いです(>_<)

また、この問題を解く際に比例定数kを用いているのですが、どうして比例定数kが必要なのでしょうか？

回答No.1

okormazd · ベストアンサー

「この問題におけるx座標に相当するのは「1/2x」であると」
それでいいです。が、
(横)*(縦^2)=(1/2)x・{√(r^2-[(1/2)x]^2)}^2
=1/2x・(r^2-1/4*x^2)
です。
=2x・(r^2-[1/4]x^2)・・・(1)
は計算間違いです。
それに、縦、横半分ずつしか計算していません。それぞれ2倍(全部で8倍)すれば、添付図と一致します。なお、縦横比ならこれで計算してもいいですよ。
「比例定数を用いる理由」
単に強さを求めるための定数です。この問題を解くのに本質的なことではありません。「縦と横の二乗の積の最大値を求めよ」でいいのです。

お礼

遅くなってすいません。
添付していただいた画像、すごくわかりやすいです！
一応確認のため、自分でも計算チェックをしてみました。

【4xr^2-x^3の微分】
lim[Δx→0](d/dx)4xr^2 － lim[Δx→0](d/dx)x^3
=4r^2・lim[Δx→0](x＋Δx)－x/Δx － lim[Δx→0](x＋Δx)^3－x^3/Δx
=4r^2 － lim[Δx→0]x^3＋3x^2Δx＋3xΔx^2－x^3/Δx
=4r^2 － lim[Δx→0]3x^2＋3xΔx
=4r^2 － 3x^2
=(2r－√3x)(2r＋√3x)

【x=(2/√3)rをyに代入】
y/2=√{r^2－(2r/2√3)^2}
=√(r^2－r^2/3)
=√(2r^2/3)
y=2・(√2・√r^2/√3)
y=(2√2/√3)r^2

ちゃんと正しい解答を導くことができました。
本当にありがとうございます(^_^;)

回答No.2

shinkami

角材の強度の要素は断面積、材質(木材、鋼材…）、形状と力の加わる方向です。
この材質の部分を比例定数としています。
円に内接する長方形の対角線は円の直径になります。
△a,x,yは直角三角形です。
a^2=x^2+y^2

お礼

回答ありがとうございます！
比例定数についてはまだしっくり理解できてないのですが、この問題では必用ないみたいなので、またそういう問題に出くわした際に考えたいと思います(^_^;)