単振動の問題で困っています。

質問

問題は

「d^2x/dt^2=-w^2x
を以下の初期条件の下で解け。
x = Bsin(ωt+θ0)+Ccos(ωt+θ0)
とし、θ0を適当に選ぶと容易に解ける。

(1) t = 0で、 x = x0、 v = v0
(2) t = t0で、 x = x0、 v = v0」

というものです。 初学者なため、詳しく回答していただけると非常に助かります。
回答よろしくお願いいたします。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

>私がxに代入すると、x = v0/ωsinθ0 + x0cosθ0
となってしまい、

x(t) = B sin(ωt + θ0) + C cos(ωt + θ0)
x(0) = B sin(ω・0 + θ0) + C cos(ω・0 + θ0) = x0
v(t) = ωB cos(ωt + θ0) - ωC sin(ωt + θ0)
v(0) = ωB cos(ω・0 + θ0) - ωC sin(ω・0 + θ0) = v0

θ0 = 0 に選びます。
x(0) = B sin0 + C cos0 = C = x0
v(0) = ωB cos0 - ωC sin0 = ωB = v0
ここまでで，初期条件により係数 B = v0/ω，C = x0　が決まったのです。そこであらためて解は，
x(t) = v0/ω sinωt + x0 cosωt

あらら，私のミスでした。ごめんなさい。v(t)とごっちゃになりました・・・m_ _m。
でも9i9i9i9ifdさんのも　θ0→ωtの間違いですね。

>また、(2)の問題の際はt=t0のため、BとCを決定するのに苦労しているのですが…

x(0) = B sin(ωt0 + θ0) + C cos(ωt0 + θ0) = x0
v(0) = ωB cos(ωt0 + θ0) - ωC sin(ωt0 + θ0) = v0

θ0 = -ωt0 にとっちゃいますか？
B sin0 + C cos0 = C = x0
ωB cos0 - ωC sin0 = ωB = v0

したがって，B = v0/ω，C = x0　で解は，

x(0) = v0/ω・sinω(t-t0) + x0cosω(t-t0)

こんな具合で。

補足

yokkun831さん
補足回答ありがとうございます。

>>θ0 = -ωt0 にとっちゃいますか？

なるほど！！そういうことなんですね！
任意の値ですものね、θ0は！

本当に助かりました！

回答No.1

yokkun831

もうすでに適当な定数B,C,θ0を用いて
x = Bsin(ωt+θ0)+Ccos(ωt+θ0)
と解いてあるのですから，これに初期条件を代入するのです。
また，一度tで微分して，
v = ωBcos(ωt+θ0)-ωCsin(ωt+θ0)
これに初速度を代入すればよい。

(1) t = 0で、 x = x0、 v = v0
x0 = Bsinθ0 + Ccosθ0
v0 = ωBcosθ0-ωCsinθ0
「θ0を適当に選ぶと」とあるので，例えばθ0=0にとって
x0 = C,v0 = ωB
したがって求める解は
x = v0/ω・cosωt-ωx0sinωt
という具合。題意をしっかり理解してください。
そんなに難しいことを要求されているわけではありません。

補足

yokkun831さん
丁寧な回答、大変ありがとうございます。

yokkun831さんのおかげで題意理解できました。BとCを決定すればよいという事でよろしいでしょうか？
(1)の場合、t=0ということはωt=0でよいのですよね？
その上で計算をしてみたのですが、

>>したがって求める解は
>>x = v0/ω・cosωt-ωx0sinωt

これは、単純に初めの式に代入した結果ではありませんよね？
私がxに代入すると、x = v0/ωsinθ0 + x0cosθ0
となってしまい、yokkun831さんの答えにたどり着かず四苦八苦しています…。
どの考え方が間違っていたのでしょうか？

また、(2)の問題の際はt=t0のため、BとCを決定するのに苦労しているのですが…

この点についても、アドバイスいただけると幸いです。