線形代数の問題です

質問

添付ファイルの(b)の問題で，直交するベクトルはすべての成分が０であるようなベクトルしか思いつかないのですがこれ以外にあると思いますか？

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#1,#3,#4です。
A#4の補足質問の回答

>ただ，確認したいのですが，
>b4=b3-b1
>b5=b1-b2
>b6=b2-b3
>ではないでしょうか？もしこうだとするとb1=b2=b3=1も当てはまると思うの
>ですが。

失礼しました。
指摘の通り(1),(2),(3)式からb4,b5,b6の式になりますね。

当方の暗算による計算ミスをしていました。
したがって、
A#1のミスがそのまま,A#3のベクトルの表に波及し、一部に誤りがありますので訂正しておきます。
リストの3番目（表の3行目）
[ 0, 0, 1,-1, 0, 1] → [ 0, 0, 1, 1, 0,-1] と訂正
リストの4番目（表の4行目）
[ 1, 1,-1, 0, 0, 0] → [ 1, 1, 1, 0, 0, 0]　と訂正
の２つを訂正させてください。
A#1の方は[ ]tの転置、A#3の方は[ ]を外して置き換えて下さい。

>b1=b2=b3=1はだめなのでしょうか？(A#3の補足の質問）
>もしこうだとするとb1=b2=b3=1も当てはまると思うのですが。
その通り当てはまります。
リストの4番目（表の4行目）に訂正した通りです。

お礼

やはりそうですよね。
何度も質問に答えていただき本当にありがとうございました。おかげさまで解決しました。

回答No.4

info22

#1,#3です。
A#3の補足の質問の回答

>>0,1,-1のような単位ベクトルの値の組をb1,b2,b3に割り当て、b4,b5,b6を計算して、単位ベクトルの0,1,-1のいずれかになる（ルール■）ように表を完成させれば良いでしょう。
>b1=b2=b3=1はだめなのでしょうか？
そうするとb4、b5、b6の中に「0,1,-1」以外の単位ベクトルの大きさでない成分ベクトル（たとえば２）が出ます。これを許せば、（ｂ）の直交ベクトルの解が無数に存在することになって（ｂ）の問題の全て求めること自体が問題として意味を失ってしまいます。

b1,b2,b3,b4,b5,b6の内の自由度が３ですから、別にb1,b2,b3を与えてb4,b5,b6を決める方法でなくても、
b4,b5,b6を与えてb1,b2,b3を決めても良い訳です。
その際、b4,b5,b6 に「0,-1,1」でない任意の整数（正、負の整数）を与えてよければ、それに対するb1,b2,b3も「0,-1,1」でない整数を許容することになります。
最初に与えるbiは自由度３から3個のbiの添え字iはどの3個を選んでもいいので、逆に言えば残りのbiも最初に与えるような、要素と同様の条件を満たしている必要があるということです。
ということで求めるベクトルの要素をa1,a2,a3の要素と同じく、「0,-1,1」に制限してやることで、（ｂ）の直交解ベクトルが有限個になり、有限個のすべてのベクトルを求めることが可能になります。ただし、直交ベクトルの向き逆で大きさが等しいベクトルや、それらの定数倍のベクトルは、すべての要素を正規化（「0,-1,1」にする）ことで1つのベクトルで代表させることができます。

これにより、問題の(6)の「すべて求めなさい。」ということが意味を持ちます。なので、問題の題意に含まれる暗黙の条件がa1,a2,a3のベクトル形式（ベクトルの要素が「0,-1,1」に制限されている）に含まれていると考えたわけです。

問題の作成者に問合せ確認していただけば、多分そういうことだと思います。

補足

なるほど，よくわかりました。

ただ，確認したいのですが，
b4=b3-b1
b5=b1-b2
b6=b2-b3
ではないでしょうか？もしこうだとするとb1=b2=b3=1も当てはまると思うのですが。

回答No.3

info22

#1です。
A#1の補足質問の回答です。

> B=[b1 b2 b3 b4 b5 b6]t とおいて，a1・B＝0，a2・B＝0，a3・B=0より，
未知数がb1～b6の６個ですね。
これらの未知数が

>　-b1+b2+b5=0　…(1)
>　-b2+b3+b6=0　…(2)
>　b1-b3+b4=0　…(3)

を同時に満たす時、B　が　a1,a2,a3のいずれとも直交することもお分かりですね。

> という式までは出せました。
未知数が６個で方程式が３つですから、３個の未知数は自由に決めてよい（自由度３）ということす。そうすれば残りの３個は(1)～(3)の連立方程式から求められます。
自由に決めてよい未知数を
b1,b2,b3とすると、b4,b5,b6は(1)～(3)の連立方程式からb1,b2,b3を使って表すことが出来ます。あらかじめ、b4=…, b5=…,b6=…と求めてお来ます。
つまり、b1,b2,b3を決めてやると、自動的にb4,b5,b6は求めた式から決まります。
Bの表を作って、a1,a2,a3のように出来るだけ簡単な0,1,-1のような単位ベクトルの値の組(0,0,0はゼロベクトルになるので除く)をb1,b2,b3に割り当て、b4,b5,b6を計算して、単位ベクトルの0,1,-1のいずれかになる（ルール■）ように表を完成させれば良いでしょう。
A#1に書き込んだものを表に書き込むと
b1,b2,b3,b4=…,b5=…,b6
1, 0, 0,-1, 1, 0
0, 1, 0, 0,-1, 1
0, 0, 1,-1, 0, 1
1, 1,-1, 0, 0, 0
1, 1, 0,-1, 0, 1
1, 0, 1,…
0, 1, 1,…
　…　　　　　　　
（他に（ルール■）を満たす組み合わせがないかチェックして下さい）
などと
求めていけば良いでしょう。
ある行を定数倍した時に他の行と一致する行は除くようにします。

この表の各行を列ベクトルに転置したものが求める列ベクトルになりますね。

補足

ご回答ありがとうございます。１つお聞きしたいのですが，

>0,1,-1のような単位ベクトルの値の組をb1,b2,b3に割り当て、b4,b5,b6を計算して、単位ベクトルの0,1,-1のいずれかになる（ルール■）ように表を完成させれば良いでしょう。

とありますが，どうしてこうのようにするのでしょうか？
b1=b2=b3=1はだめなのでしょうか？

回答No.2

nagi_szn

Hint：
(a) a1,a2,a3を並べた行列の階数を調べる。
(b) 斉次1次方程式系を解く。

お礼

自由度を求めるやり方ですよね。これをもとにいろいろ調べてみたら解決しました。ありがとうございました。

回答No.1

info22

問題の丸投げはマナー違反なので、
全く分からないのであれば諦める。

多少なりとも調べ、勉強して、何らかの解答を、わかる範囲までの所を補足に書いて下さい。そして行き詰って分からない箇所については何が分からないかを質問し回答者にアドバイスを求めて下さい。それを繰り返して答えまで辿り着くようにして下さい。

２つのベクトルの直交の定義、もしくは条件は何ですか？
その条件を式に表してやれば、(b)が解けるでしょう。

[]tを転置の記号として、たとえば
[1 0 0 -1 1 0]t, [0 1 0 0 -1 1]t, [0 0 1 -1 0 1]t,
[1 1 -1 0 0 0]t, [1 1 0 -1 0 1]t, …
など次々直交ベクトルが出てくると思います。

残りのベクトルの導出は自分で考えて下さい。

補足

すみません，質問した後に気付いたのですが直交条件は２つのベクトルの内積が０であることは知っていましたので改めて計算してみました。[]tを転置の記号として，求めるベクトルをB=[b1 b2 b3 b4 b5 b6]t とおいて，a1・B＝0，a2・B＝0，a3・B=0より，

-b1+b2+b5=0
-b2+b3+b6=0
b1-b3+b4=0
という式までは出せました。これらの式を使って導いていくとしたら答えは1通りでないこともわかりました。しかし，思ったようになかなか答えが出ません。地道に場合分けをしていくしかないのでしょうか？それとも，最初から方向性が間違っているのでしょうか？