数列の一般項を求めたいです。

質問

以下の漸化式を持つ数列を一般項で表したいです。
簡単に求め方が説明できる場合は求め方についてもお教えいただけますと幸いです。

a(n+1)=2*a(n)+(p*n+q)*2^n

そもそも、一般項もとまるのでしょうか？

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

b(n+1) = b(n) + (p*n+q)
なら求まりますか?

お礼

大変ありがとうございました。

a(n)を2^nで割って計算することで、単純な等差数列の式になり無事もとめることができました。
大変ありがとうございました。

補足

はい、b(n+1) = b(n) + (p*n+q)ならば大丈夫そうです。

これがヒントとなりましたが、2^(n+1)で割って上記の形にすればよいのですね。
ありがとうございます。とりあえずチャレンジしてみます。

回答No.2

WiredLogic

どんな場合でもとはいえませんが、この問題なら、一般項、求めることは可能です。

普通の２項間の漸化式にオマケがついたような形になっていますから、
そういう路線で求められないかを考えてみます。

普通の２項間の漸化式は、
a(n+1) = p*a(n) + q が、a(n+1) - x = p(a(n) - x) みたいになっていると、{a(n)-x}が等比数列になって、簡単に求められるのになぁ、とりあえず、xを求めてみるか、みたいなところから始まって、解いていきますよね。

この場合には、オマケ部分が、定数でなく、nの式の形なので、a(n)-x の xの部分も、数列になってないとまずいかも、と想定できるので、a(n+1) - b(n+1) = 2(a(n) - b(n)) になっているといいなぁ、と、考えてみます。

a(n+1) = 2*a(n) + b(n+1) - 2*b(n) だから、
b(n+1) - 2*b(n) = (p*n+q)*2^n、

これが成り立つとすれば、b(n)はどんな形でないといけないか、見つけ出さないといけませんが、右辺とそんなにかけ離れた形にはならないと思えるので、
たとえば、b(n) = (nの１次式)*2^n みたいな形を想定してみます(計算して駄目なら、また考える)

で、b(n) = (xn + y)*2^n とおいてみると、
b(n+1) - 2*b(n) = {x(n+1) + y}*2^(n+1) - (2xn + 2y)*2^n
= {2x(n+1) + 2y - 2xn - 2y}*2^n = (2x)*2^n、
これでは(～)内がnの１次式にならないので、ダメですね。

では、b(n) = (nの２次式)*2^n ではどうか、と考えてみます
b(n) = (xn^2 + yn + z)*2^n とおいてみると、
b(n+1) - 2*b(n) = {x(n+1)^2 + y(n+1) + z}*2^(n+1) - (2xn^2 +2yn + 2z)*2^n
= {2x(n+1)^2 + 2y(n+1) + 2z - 2xn^2 - 2yn - 2z}*2^n
= (4xn + 2x + 2y)*2^n
今度は(nの１次式)*2^n になったので、ビンゴ！

係数を比較すれば、x,yをp,q であらわせるので、あとは、普通の２項間の漸化式の要領で、求められます。

お礼

一般的な求め方について教えていただきまして大変ありがとうございました。
数列の一般項を求める場合の推察の仕方がわかり、大変勉強になりました。
（どうしたらこのような洞察力が見に付くのでしょうか。。。感動します。）
この方法ならばいろいろと応用ができそうですね。