にゃんこ先生の自作問題、光がn枚のガラスの間を反射・通過を繰り返し、結局は外から内に入ってくる総量

質問

にゃんこ先生といいます。

一枚のガラスがあり、外から分量1だけの光が当たるとします。
そのとき、ガラスが光を反射する確率がp、通過する確率がq（ただし、p+q=1）であったとします。

また、少し隙間のある二枚のガラスがあり、外から分量1だけの光が当たるとします。
すると、一枚目でpだけ反射し外に出て行き、qだけ通過します。
次に、通過した分量qの光が二枚目のガラスでpqだけ反射し、q^2だけ通過して内に入ってきます。
さらに、分量pqの光は一枚目のガラスに当たり、p^2qだけ反射し、pq^2だけ通過して外に出て行きます。
分量p^2qの光は二枚目のガラスに当たり、p^3qだけ反射し、p^2q^2だけ通過して内に入ってきます。
そのように考えていくと、外に出て行く光の合計は、p+pq^2+p^3q^2+p^5q^2+…=p+(pq^2)/(1-p^2)=2p/(1+p)。
内に入ってくる光の合計は、q^2+p^2q^2+p^4q^2+…=(q^2)/(1-p^2)=q/(1+p)。

今度は、少し隙間のあるn枚のガラスがあり、外から分量1だけの光が当たるとします。
反射・通過を繰り返し、最終的に外に出て行く光の合計、最終的に内に入ってくる光の合計はそれぞれどうなるのでしょうか？

推移や分岐のパターンがたいへん複雑で、なにか数学の道具が必要な気がします。
自作問題ですが、オーソドックスなので、すでに研究結果があるような気がします。
なので、その道具や研究結果を具体的にご存知の方は教えていただけないでしょうか。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

一見するとファブリ・ペロー・エタロンの光学の話のようだけど、実はそうじゃない。なにしろ
(1) ガラスによる吸収や非線形効果を考慮しない。
(2) 光の波動性や光速の有限性を考慮しない。

　さて、1枚目と2枚目のガラスから構成される系を一つのモノと考え、ここに外部から1の強さの光を当てたとすると、(1)によって、入射した光は全て、この系から反射されるかこの系を透過するかのどちらかに振り分けられることになります。
　2枚のガラスの間を行ったり来たりする光線を考えたとき、この系から反射され1枚目から出て行く光の総量P[2]と、この系を透過して2枚目から出て行く光の総量Q[2]は、ご質問で計算なさった通り。
　というわけで、この2枚のガラスからなる系は反射率P[2],透過率Q[2] (P[2]+Q[2]=1)を持つ。この系は、そういうガラス1枚と同一視できる。つまり、もはや2枚のガラスの間の行ったり来たりのことは忘れて良い。

　じゃあ、ここにもう１枚ガラスを加えるとP[3],Q[3]はどうなるかな？とやれば宜しいかと。P[2],Q[2]を計算するのとほとんど同様ですね。

お礼

ありがとうございます。
1枚のガラスで、外から1の光が当たったとき、
反射率P[1]=p,透過率Q[1]=q (P[1]+Q[1]=1)、
n枚のガラスから構成される系で、外から1の光が当たったとき、
反射率P[n],透過率Q[n] (P[n]+Q[n]=1)、としたとき、
漸化式を作ると、途中計算は略して、
P[n+1]={(1-2p)P[n]+p}/{1-pP[n]}
これを解くと、途中計算は略して、
P[n]=pn/(pn+1-p)
となりました。

回答No.7

noname#94240

No.6です。
光の向きによって、通過と反射の向きが入れ替わるので、ランダムウォークになるわけがありませんでした。。。
お気づきだと思いますが、前回の回答は思い切り頓珍漢なものとなってますので、無視してください。ごめんなさい。

回答No.6

noname#94240

こんにちは。
これは、確率論で言うところの「ギャンブラーの破産問題」と同じ構造ではないでしょうか。
リンク先のレクチャーノートにおいて、A=1、B=n としたケースが求めたいものになると思います。

参考URL：

http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/lecture/2008-graduate/2008-11-20.pdf

回答No.5

hiccup

光の一筋を追いかけるではなく、ガラス間の同一方向の光をまとめてひとつにしたものを扱うとなんとかなります。以下、高校３年生程度の知識でやりますが、なかなかおもしろいことが起きました。

k 番目のガラスから k+1 番目のガラスに向かう光の総量を a(k) 、その間の逆向きの光の総量を b(k) とします。ここで、a(0) = 1 、b(n) = 0 です。すると

a(k) = p b(k) + q a(k-1)
b(k) = p a(k) + q b(k+1)

これから、列ベクトル t( a(k) b(k) ) の漸化式がつくれます。その行列は

(q-p)/q　p/q
-p/q　1/q

です。これを M とすると、漸化式は X(k) = M X(k-1) の形です。
おもしろいことに、tr M = 2 、det M = 1 と定数になります。
最小多項式が t^2 - 2t + 1 です。
よって
M^n = n (M - E) + E
となり

a(n) = (1/q)( q - np + np b(0) )
b(n) = (1/q){ -np + (q + np) b(0) }

b(n) = 0 だから b(0) = np/(q+np) 、よって a(n) = q/(q+np) となりました。

反射　np/(q+np)
透過　q/(q+np)

--
おもしろかったです。最小多項式が気になります。
万が一、先の回答者さんとかぶっていたらごめんなさい。

回答No.4

noname#101087

追記。
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>　空隙を介したガラス複数枚は、上記のラストページに
>　Next time: TL Discontinuity
>　と予告されていますが、見つけてません。
　　↓ ありました。
　http://nano.ece.uiuc.edu/education/secure/Lect36TLDiscont.pdf
>TL Discontinuities / Lecture 36

回答No.3

noname#101087

電気通信の分野でいうと、伝送ラインの「反射」問題がこれに相当するようです。

実際のラインでの信号の伝送損失は、電気抵抗により生じる熱損失と、接続の不連続点での反射損失があります。
熱損失を無視すると「反射」問題ですが、さらに (1)過渡解 および (2)定常解 に二分されます。
ご提案の課題はおそらく (2)定常解 のほうなのでしょうね。

とりあえず、頻用される手法の例だけでも。感じぐらいしか把めないでしょうけど…。

(1) 過渡解
　bounce diagram が代表的な手法。
　　↓　ガラス一枚に相当。
　http://nano.ece.uiuc.edu/education/secure/Lect35BounceDiag.pdf
　>Bounce Diagrams for Transmission Lines / Lectures 35

　空隙を介したガラス複数枚は、上記のラストページに
　Next time: TL Discontinuity
　と予告されていますが、見つけてません。

(2) 定常解
　線形 2 ポートの入力波と反射波の関係を示す S 行列 (scattering matrix) を利用するのが普通。
　空隙を介したガラス複数枚なら、異なる複数の S 行列 の積になると思います。

お礼

ありがとうございます。
k枚目のガラスに対して、外部方向から内部方向へ向かう光の量、内部方向から外部方向へ向かう光の量を分けて考え、初期状態からtステップ後の状態をベクトルで表し、反射・透過するステップの変化を行列で表す。
これらの道具を使えば有用そうです。
電気通信の分野で似た設定があるとは勉強になりました。

回答No.1

debukuro

ガラスの枚数：ｎ
ガラスの厚み：ｄ
反射による損失：ｐ＾２ｎ
吸収による損失：ｄnq
だと思う