積分計算の式変形について（私のカッコのつけ方が悪かったので再度質問します。）

質問

こんばんは。Ｉ（ｎ+２）＝∫[０→１]ｘ＾（ｎ+２）ｅ＾（-ｘ＾２）ｄｘ＝（-１／２）∫[０→１]ｘ＾（ｎ+１）[-２ｘ・ｅ＾（－ｘ＾２）]ｄｘに於いてなぜ（－１／２）が出てくるのか、どうして（ｎ＋１）が出てくるのかわかりません。できれば詳しい解説をよろしくお願いします。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

e^(-x^2)を微分すると-2xe^(-x^2)になります。
裏を返せば、-2xe^(-x^2)を積分するとe^(-x^2)になります。
まずこれを念頭において下さい。

> Ｉ（ｎ+２）＝∫[０→１]ｘ＾（ｎ+２）ｅ＾（-ｘ＾２）ｄｘ＝（-１／２）∫[０→１]ｘ＾（ｎ+１）[-２ｘ・ｅ＾（－ｘ＾２）]ｄｘ

多分この解説を書いている人は、部分積分を行いたいのだと思います。
上記の変形は、その為の前準備です。

部分積分では
∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫F(x)g'(x)dx
となりますが(片方積分、片方微分)、
解説者はe^(-x^2)の方を積分する方に持っていきたいみたいです。
しかしe^(-x^2)はそのままでは積分できません。
そこで無理矢理e^(-x^2)を-2xe^(-x^2)に変形します。
前述のように-2xe^(-x^2)は積分できるからです。

∫x^(n+2)e^(-x^2)dx
= ∫{x^(n+1)}x・e^(-x^2)dx　(x^(n+2) = {x^(n+1)}xと変形)
= ∫{x^(n+1)}・{xe^(-x^2)}dx　(これで右側が-2xe^(-x^2)に少し近づきました)
= ∫{x^(n+1)}・{(-1/2)・(-2)・xe^(-x^2)}dx　(無理矢理-2を作成して-2xe^(-x^2)の形に近づけます)
= (-1/2)∫{x^(n+1)}・{-2xe^(-x^2)}dx　(余分な(-1/2)だけ取り除く)

お礼

詳しく丁寧に解説していただきありがとうございました。とてもよくわかりました。

回答No.1

rnakamra

積分とは無関係の変形ですので被積分関数のみを書きます。

x^(n+2)*e^(-x^2)=x^(n+2)*e^(-x^2)*(-2x)/-(2x) (-2x)を掛け(-2x)で割る
=x^(n+2)/(-2x)*(-2x)*e^(-x^2) 単なる順番の入れ替え
=(-1/2)x^(n+1){-2x*e^(-x^2)} x^(n+2)/x=x^(n+1)

お礼

大変参考になりました。どうもありがとうございました。