複素数の絶対値

質問

zは複素数で、z^4+z^3+z^2+z+1=0を満たすもであり
（１）｜z｜
（２）｜z－１｜＾２＋｜z＋１｜＾２
を求めよという問題をどの方針で解けばよいかわかりません。
四次方程式をといて、ｚを求めるしかないのでしょうか？

回答よろしくお願いいたします_(._.)_

回答No.2

info22 · ベストアンサー

(1)
z^4+z^3+z^2+z+1=0
z≠1なので(z-1)(≠0)を両辺にかけると
z^5-1=0
z^5=1
|(z^5)|=1
|z|=　？

(2)zは半径1の円周上の点P(z)であり
｜z-1｜^2
は円周上の点zと点A(1+0i)の距離の２乗
｜z+1｜^2
は円周上の点P(z)と点B(-1+0i)の距離の２乗
なので∠APB=90°、AB＝2(円の直径)
３平方の定理（ピタゴラスの定理）から
PA^2+PB^2=AB^2
従って
｜z-1｜^2＋｜z+1｜^2＝　？

あとは分かりますね？

分からなければ、あなたの計算過程を補足に書いて、分からない箇所を補足質問して下さい。

お礼

z^5を考えればよかったんですね！！
（２）の説明もとてもわかりやすかったです。
ありがとうございました(>_<)

回答No.1

mister_moonlight

z^4+z^3+z^2+z+1＝0　から、z＾5＝1　→　z＝1.　‥‥(1)
z＝x＋y*i　（x、yは共に実数、iは虚数単位）とすると、(1)より、x＾2＋y＾2＝1　‥‥(2)
｜z－１｜＾2＝｜（x＋y*i）－１｜＾2＝（x-1）＾2＋y＾2。
｜z＋１｜＾2＝｜（x＋y*i）＋１｜＾2＝（x＋1）＾2＋y＾2。
従って、｜z－１｜＾2＋｜z＋１｜＾2＝2（x＾2＋y＾）＋2＝4.

(1)から、z＝cosθ＋i*sinθ　としても良い。

お礼

なるほど！ありがとうございます（*^_^*）