積のべき乗について

質問

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97
によれば、xとyが積×について可換ならば、有理数rについて
(x×y)^r=(x^r)×(y^r)=(y^r)×(x^r) となるらしいです。

そこで、
xとyが積×についてx×y=-y×xであるとき、
(x×y)^2=(-y×x)^2=(y×x)^2
となり、２乗の中ではxとyは積×について入れ替え可能なので、
(x×y)^2=(y×x)^2=(x^2)×(y^2)=(y^2)×(x^2)
となるのかなと思ったのですが、間違いでしょうか？

回答No.4

arrysthmia

昨夜は失礼しました。
どの x についても x = -x であるような
環の例は、｛ 0, 1 ｝以外にも、
｛ 0, 1 ｝を係数とする多項式環とか、ありますね。
いずれにせよ、∀a, a = -a なので、
(x~2)(y~2) が (y~2)(x~2) なのか、
-(y~2)(x~2) なのか、悩むことに
あまり意味がないのですが。

補足

回答ありがとうございます。
では、xとyが積×についてx×y=-y×xであるとき、
(x×y)^2=(y×x)^2=(x^2)×(y^2)=(y^2)×(x^2)
で良いということでしょうか？
ちょっと読解力不足でそこまで読み取れなかったのですが…

回答No.3

arrysthmia

可換性のかわりに xy = -yx と仮定したのですね。
それでも、その仮定がオカシイのです。
y に単位元を代入してごらんなさい。
そのような環は、単位元と零元だけからなる
ものだけです。

回答No.2

x_jouet_x

そもそも積について可換ということは、
x×y=y×x
が成立しなければならず、
x×y=-y×x
と仮定できないのではないでしょうか？

回答No.1

settheory

もちろんあっていますが、その理由に結合則が暗にあると思います。

（x×ｙ）×ｚ＝ｘ×（ｙ×ｚ）　が常に成立することを結合則といいます。三つの積について、前二つを先に演算（計算）したものと、後ろ二つを先にやったものの結果が一致するということです。群の演算はこれを満たしていていることを前提としています。

これに積が可換であることが加わると、三つの順番をどのようにいれかえても答えが一致するということがすぐわかると思います。（もちろん三つ以上のところでも同じことがいえます）

補足

結合則が暗にあるということですが、
それが、
xとyが積×についてx×y=-y×xであるとき、
(x×y)^2=(y×x)^2=(x^2)×(y^2)=(y^2)×(x^2)
であることと
どう関わりがあるのかピンときませんでした。
その辺りの説明をもう少し頂けませんでしょうか。