代数的整数とは何ですか？

質問

本などで代数的整数というものを見かけるのですが、
これはどういうものなのでしょうか？
検索したり本などを見てみましたが、どういうものか分かりませんでした。
どなたか定義と例を教えて頂けないでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.7

arrysthmia · ベストアンサー

因数分解の話は、どこから湧いてきたのでしょうか？

有理係数であれば、最高次の係数が１か否かは
全く問題になりません。
方程式の両辺を、最高次の係数で割ってしまえば、
どの式でも「最高次の係数が１」になるからです。
monic であるか否かは、多項式の係数環が体でない
ときのみ意味を持つ概念です。

＞ 係数が1より小さくなることがあるのでしょうか？

１より小さい整数というのは、零または負のことですか？

回答No.6

arrysthmia

←No.4
そうですね。「定義は正確に」でした。

毎度の陳謝と訂正：
『最高次の項の係数が1である整係数多項式の根である複素数を代数的整数と呼ぶ』
です。

多項式の根、方程式の解ですね。確かに。
ちなみに、「代数方程式」の定義は、多項式=0 という方程式のことです。

それはともかく、代数的整数を定義する上で、多項式が monic かどうかは
本質的ですよ。元大統領。

お礼

皆さん回答ありがとうございます。

しかし、「最高次の係数が 1 であるような整数係数」というところが分かりません。

要は、因数分解したその答えだということだと思うのですが、
因数分解して係数が1より小さくなることがあるのでしょうか？
後、次数0として定数項くらいでしょうか？

回答No.5

rinkun

ANo.1です。引用した定義が不正確だとの指摘があるので、定義を正確に。
# ANo.1の定義の不正確さは部分的な引用によるものです
# 引用元のサイトの記載に問題があるということではありません

代数的整数とは、最高次数の係数が1である整数係数の代数方程式の解である数。
ここで、代数方程式とは、多項式=0で表される方程式のことです。

たとえばx^2-2=0は整数係数の代数方程式で、さらに最高次数の係数が1ですので、この解である√2は、代数的整数です。

なお、関連の語彙についても記すと。
代数的数とは、有理数係数の代数方程式の解である数。
# ここは整数係数の代数方程式としても同じ
超越数とは、代数的数でない数のこと。
超越数の例としては円周率πやネイピア数(自然対数の底)eがあります。

回答No.4

Tacosan

あれ?
・整数係数「代数方程式」の解が「代数的数」
・最高次の係数が 1 であるような整数係数「代数方程式」の解が「代数的整数」
ですよね＞#3.
代数的数でないのが超越数.

回答No.3

arrysthmia

定義は正確に。
『最高次の項の係数が1である整係数多項式の解である複素数を「代数的整数」と呼ぶ』です。
「整係数」が抜けると、「代数的整数」ではなく、「代数的数」になります。

回答No.2

koko_u_u

>本などで代数的整数というものを見かけるのですが、
>これはどういうものなのでしょうか？

その本を読めばいいのでは？
説明もなしに代数的整数の単語だけ登場しているのですか？

回答No.1

rinkun

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/node32.html
検索してみましたが、上記サイトでは分かりませんか。

定義は「最高次の項の係数が1である多項式の解である数を「(代数的)整数」と呼ぶ」ですね。
例としてはルート2などが挙がっています。

参考URL：

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/node32.html