連続したn個の整数の積
ひき続いたn個の整数の積のなかには、nの倍数が含まれることがわからないので質問します。問題は、
整数a,bを係数とする２次式f(x)=x^2+ax+bを考える。f(α)=0となるような有理数αが存在するとき、以下のことを証明せよ。
(1)αは整数である。(2)任意の整数lと任意の自然数nに対して、n個の整数f(l),f(l+1),・・・,f(l+n-1)のうち少なくとも1つはnで割り切れる。
(1)α=m/n(m,nは互いに素な整数)とおくと条件より (m/n)^2+a(m/n)+b=0,
m^2/n=-(am+bn) m^2はnで割り切れるが,m,nは互いに素だから n=±1しかない。ゆえにα=±mとなり、αは整数である。
(2)f(α)=0だから、f(x)=x^2+ax+b=0となる2次方程式は、x=αなる解をもつ。ほかの解をβとすれば、解と係数の関係からα+β=-a,β=-a-αよりβも整数である。ゆえにf(x)はこの２整数α,βを用いて、f(x)=(x-α)(x-β)と因数分解できる。したがってf(l)=(l-α)(l-β)となりf(l)はl-αで割り切れる。同様に、
f(l+1)はl+1-α で
f(l+2)はl+2-α
・・・
f(l+n-1)はl+n-1-α で割り切れる。
ゆえにf(l)f(l+1)f(l+2)・・・f(l+n-1)はそれらの積 (l-α)(l+1-α)(l+2-α)・・・(l+ｎ-1-α)=
(l-α)(l-α+1)(l-α+2)・・・(l-α+n-1)で割り切れる。
ここがわからないところです。
l-αからはじまる引き続いたn個の整数の積だから、どこかにnの倍数がある。
自分はl-α=-3 n=4で計算をしたら、 -3,-2,-1,0 となり0が４で割り切れるのかと疑問に思ったり、
他の数を代入して計算してみても、ひき続いたn個の整数の積のなかには、nの倍数が含まれることが実感できませんでした。
解答の続きは、よってn個の整数f(l),f(l+1),・・・,f(l+n-1)のうち少なくとも1つはnで割り切れる。でした。
どなたか、ひき続いたn個の整数の積のなかには、nの倍数が含まれることを証明してください。お願いします。
お礼
ありがとうございました。 おかげさまで証明の方は理解できました。