シグマ代数

質問

シグマ代数とは、何でしょう？何のためにあるのでしょうか？

http://en.wikipedia.org/wiki/Sigma-algebra
を読んでみたのですが、よくわかりません。

定義を目で追うことはできるのですが、それが何を意味していて、なんのためにあるのかが良く分かりません。

どなたかお助けを・・

回答No.3

rinkun · ベストアンサー

具体例は……ルベーグ積分の本に載ってないかな。[0,1]区間上のルベーグ測度とかR上のルベーグ測度とかの構成って。
この辺は大学の授業でノートを取ってた記憶しかなくて曖昧で。教科書はほとんどなかったし。
今絶版してない良い本があるか良く知らんけど、ルベーグ積分か確率論の教科書をあたってください。

補足

なるほど、抽象度が高い話なのですね。勉強してみます。
ありがとうございます。

回答No.2

rinkun

土台と言ったのは技術的土台の意。
例えば実数上のルベーグ測度は「区間の長さ」を区間全部の集合を含むシグマ代数上に拡張していくことで構成しています。(ただ一段階じゃなく数段階拡張していたように記憶している)
だから測度を説明するのにシグマ代数が必要なわけです。

非0項は、正にゼロじゃない値を持つ項のこと。無限和は正確には数値の無限和ですね。無限個の数値の集まりがあって、その総和を有限な数値として定義できるためにはその中のゼロでない数値は高々可算個だということです。
# 非負実数の集合で考えると分かりやすいかと

補足

うむむむむ、難しいですね・・・。
具体例を・・・というのは無理な世界でしょうか？

回答No.1

rinkun

ルベーグ積分を扱うための収束する可算無限和を扱うための土台……で良いかと。
# 無限和が収束するためには非0項は高々可算であることを示せ

補足

土台というのは、たとえばどういうものでしょうか？また「非0項」とは？