σ-代数

質問

X (≠ø) を集合とするとき、M = { ø , X } はσ－代数であることを示したいのですが…

σ－代数の定義は分かるのですが、どのように証明文を書けばよいのかがわかりません。

教えてくださいm(_ _)m

回答よろしくお願いします。

回答No.1

paltaan · ベストアンサー

Xは全体集合ということで証明します。
ちなみにXが部分集合のときはσ－代数とはなりません(∵CX∈σ－代数ではない)
C・は補集合を表します

(1)「X,Φ∈M」 これは自明
(2)「A∈M ⇒ CA∈M」
　　X∈M ⇒ CX=Φ∈M　、Φ∈M ⇒ CΦ=X∈M
　　よって、(2)もOK
(3)「An∈M (∀n) ⇒ ∪_[n]An∈M」
　　Mの元が有限個しかないので、X∪Φだけ調べればよく
　　X∪Φ∈M
　　よって、(3)もOK

以上よりMはσ－代数の定義を満たす　■

ちなみにこのMより小さなσ－代数は存在しません