線形代数

質問

線形代数についての質問なのですが、線形変換Tの核とはどのような意味なのでしょうか？定義は分かるのですが、その定義の持つ意味が分かりにくいです。どなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.1

noname#221368

核，核空間という概念は、線形代数に限らず、代数を扱うときにはいつでも出てきます（群とかでも）。それは、核と準同型写像を組にして使うと、その代数系の基本構造が明らかになるからです。
　線形代数の場合、準同型写像とはじつは、線形写像（行列）の事であり、写像として見た行列（線形写像）は、ベクトル空間からベクトル空間への準同型写像になっています。
　参考までに以下の定理は、線形写像の基本構造とか、標準分解とか勝手に呼んでいるものです。

定理．
　ＶとＷを有限次元ベクトル空間，f：Ｖ→Ｗかつ線形，Ｓ＝Ker(f)，(＋)を直和として、Ｖ＝Ｓ (＋) Ｔ，ＴはＳの直和補空間，f | Ｔを、fのＴへの制限とする。以下が成り立つ。

　　(1) f(Ｖ)＝f(Ｓ(＋)Ｔ)＝f(Ｓ)＋f(Ｔ)＝{0} (＋) f(Ｔ)＝f(Ｔ)．f(Ｔ)⊂Ｗは、Ｗの部分空間．
　　(2) f | Ｔ：Ｔ→f(Ｔ)は、同型写像で全単射．
　　(3) 従って、線形なf^(-1)：f(Ｔ)→Ｔがある．
　　(4) 従って、a，b，c，・・・∈Ｔが独立なら、f(a)，f(b)，f(c)，・・・∈f(Ｔ)は独立（逆も真）．
　　(5) 従って、dim(Ｔ)＝dim(f(Ｔ))＝rank(f)．

　上記定理は、次元定理（と勝手に呼んでいる）dim(Ker(f))＋dim(f(Ｖ))＝dim(Ｖ)と同値になります。また上記定理を、行列式論の支援のもとに、行列の言葉で書き直したものが、対角化可能定理です。
　さらに上記定理で、Ker(f)による同値類を考えると、線形空間の準同型定理と同値である事もわかり、商ベクトル空間の価値がわかって、テンソルの構成につなげる事もできると思います。

お礼

詳しい回答有難うございます。以後勉強する上での糧とさせていただきます。本当に有難うございました。