粒子のエネルギー E＝(1/2)mv＾２とE＝ｈν

質問

一般的に量子力学などでエネルギーを求める場合、波長λ＝ｈ/ｐよりｐ＝ｈ’ｋ、（ｈ’＝ｈ/２π）をE＝ｐ＾２/（２ｍ）に代入すると、≪E＝（ｈ’ｋ）＾２/（２ｍ）≫となりますよね。
一方、粒子のエネルギーは【E＝ｈν】とも表されます。速度ｖ、振動数ν、としてｖ＝νλ、λ＝（２π）/ｋより『ν＝（ｋｖ）/(２π)』となり、またλ＝ｈ/ｐよりｍｖ＝ｈ/λとなる。これよりｖ＝（ｈ’ｋ）/ｍを『』に代入し、さらに【】に代入するとE＝（ｈ’ｋ）＾２/ｍとなって、≪≫の式と違います。教科書では≪≫の式ですが、どのような条件で違いが生まれてくるのですか？

回答No.1

heboiboro · ベストアンサー

> ｖ＝νλ
この表式での v は「位相速度」と呼ばれるものです。
量子力学において、波動関数の位相速度は粒子の速度とは一致しないことが知られています。

一方で、「群速度」と呼ばれるものが存在します。
これは、 v_g = ∂ω/∂k (ただしω=2πν)で定義される量です。
いまは ω=E/h'=h'k^2/2m ですから、v_g=h'k/m=p/mとなります。
(一方で位相速度は v=h'k/2mです)

位相速度は、いわば「平面波が移動する速度」です。
群速度は、「波束(空間的に局在した波)が移動する速度」です。
真空中の光などのように位相速度が波長に依らず一定になる場合は位相速度と群速度は一致しますが、
それ以外の場合には位相速度と群速度は異なります。
現実の粒子は波束で表現されると考えられるので、粒子の「速度」に対応するのは群速度の方です。

詳しくは「群速度」で検索してみてください。

お礼

明快な説明で、おかげで理解できました。有難うございます。

回答No.2

hitokotonusi

>E＝ｐ＾２/（２ｍ）

をエネルギー演算子，運動量演算子で置き換えて波動関数に作用させると自由粒子のシュレーディンガー方程式になります。

このシュレーディンガー方程式に波動関数としてe^[i(kx-wt)]を代入して計算すると，係数同士の関係から

h'ω=hν=h'^2 k^2 / 2m

が出てきます。したがってどこにも矛盾はありません。

成立しないのはｖ＝νλで，古典波動が従うのが座標と時間が共に2階偏微分の波動方程式，量子粒子が従うのは座標は2階で時間が1階のシュレーディンガー方程式なので，自ずから性質が異なってきます。

光子は質量がなく一般のシュレーディンガー方程式には従わず相対論的なクライン－ゴルドン方程式で記述され，この方程式は質量0のときは古典波動の波動方定式と同じ形になるので光についてはｖ＝νλが成り立ちます。