極限の問題（？）だと思います・・・

質問

「f ''(a)not=0ならば、f(a+h)=f(a)+hf '（a+θｈ）においてｈ→0のときθ→1/2となることを示せ。」という問題を解くにはどうやったらいいでしょうか？私は式を変形後、極限値の計算公式や微分係数の定義を使ってみたんですが、よくわかりません。ヒントでもいいのでよろしくおねがいします。

回答No.3

uyama33 · ベストアンサー

もっと原始的な解き方です。

f(a+h)=f(a)+hf '（a+θｈ）

この式を、ｈ　で微分します。

f '(a+h)=f '（a+θｈ）＋　 hθf ''（a+θｈ）

式を変形して

f '(a+h)－f'(a)＋f'(a)－f '（a+θｈ）＝hθf ''（a+θｈ）

この左辺は

＜｛f '(a+h)－f '(a)｝/ｈ＞＊ｈ－＜｛f '（a+θｈ）－f '(a)｝/θｈ＞＊θｈ

となります。

両辺をｈで割ります。

＜｛f '(a+h)－f '(a)｝/ｈ＞－＜｛f '（a+θｈ）－f '(a)｝/θｈ＞＊θ　＝　θf ''（a+θｈ）

ここで、ｈを０近づけて

f ''（a）－θf ''（a）＝θf ''（a）

両辺を　f ''（a）で割ると

１－θ　＝　θ

となるので、θ＝０．５

ただし、f ''（ｘ）が、点　a　で連続である事を使いました

お礼

わかりやすい回答ありがとうございました。証明の途中の言葉の説明もわかりやすいです。またわからないことがあったら、よろしくお願いします。

回答No.2

F0ur1er

こんにちわ。この問題はテイラー展開を用いて答えを
導きます。
---証明-----------------------------------
まず、f(a+h)=f(a)+hf´(a+θh)のf´について、
再び平均値の定理を使うと、
f´(a+θh)=f´(a)+θhf"(a+θ´θh)となるような
が存在する。これを最初の式に代入すると、
f(a+h)=f(a)+hf´(a)+θ(h^2)f"(a+θ´θh)…(ⅰ)
一方、２階までのテイラー展開は
f(a+h)=f(a)+hf´(a)+(1/2)*(h^2)f"(a+θ"h)…(ⅱ)
となるθ"(0<θ"<1)が存在する。
(ⅰ)と(ⅱ)を等しいとおくと、
θf"(a+θ´θh)=(1/2)*f"(a+θ"h)
が成り立つ。f"(x)が連続だから、h→0とすると、
f"(a+θ'θh)→f"(a)
f"(a+θ"h)→f"(a)
となる。f"(a)≠0だから十分小さいhに対して、
f"(a+θ´θh)≠0
である。従って、
θ=(1/2)*{f"(a+θ"h)/f"(a+θ´θh)}
→(1/2)*{f"(a)/f"(a)}=1/2(h→0)
-----------------------------------q.e.d.----
ところで、証明の中でf(x)がＣ^2-級関数であることを
使ってしまいましたが大丈夫でしょうか？
それでは、頑張って下さい。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。not＝がきちんと入力できてうらやましいです。Ｃ＾n-級関数については聞いたことはありますが、実はまだよくわかっていません。この機会に改めて勉強し直そうと思います。またわからないことがあったら、よろしくお願いします。

回答No.1

mmky

「f ''(a)not=0ならば、f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)
においてｈ→0のときθ→1/2となることを示せ。」
という問題を解くにはどうやったらいいでしょうか？

h=b-a と置けば、
f(b)=f(a)+(b-a)f'(a+θ(b-a))
{f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(a+θ(b-a))
点a,bの間に点cを取ると、
(c-a)/(b-a)=θ
c=a+(b-a)θ になるね。
{f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(c)
平均値だから半分のところにc点は取るよね。
ということで、θ=1/2 だね。
「平均値の定理」というのを参考にするといいね。

お礼

早い回答ありがとうございます。高校の時に数(3)まで勉強してなかったので、大学生になって「平均値の定理」なども聞くようになりました。改めて勉強してみます。またわからないことがあったら、よろしくお願いします。