数学の質問

質問

いくつかありますが、お願いします。

1
Σ(k=1→∞)*1/nは発散するということを示すにはどうすればいいでしょうか。それと、感覚的に理解するのは無理でしょうか。区分旧蹟法で見ると収束するように思えます。

2
limの微分の定義式にh→0のものとx→aの2種類が教科書などに載っていましたが、どうやって変形しているんでしょうか。h=～～とかおいているのだと思いますがよくわかりません。

3
大学受験でマクローリンを使うのは反則でしょうか。
ただし、cosx=1-x^2/2!などはx-2についてとき、極限を使って強引に証明をします。ようはいきなりこの式を思いつくこと自体が不自然だと判断され減点されるかどうかです。

4
sinx/x→1という公式がありますが、これを問題文中で使うとき括弧書きで、これはx=0付近での微分係数が一致することを意味する、などという余計なことを書くと採点者はどう思うでしょうか。

5
{f(a+3x)}'=f'(a+3x)*3となるのは、合成関数の微分を使っているのはわかりますが。いまいちシック着ません・・・

以上をよろしくお願いします。

回答No.1

kesexyoki · ベストアンサー

高校生ですか？大学生ですか？それにより示し方も変わってくるのですが・・・（まあ、大学受験と書いてあるので高校生と察しますが）

1、まず、Σ(k=1→∞)*1/nですが、記号はkかn統一しましょう。質問者さんの表記のまま計算すると左辺＝1/nになってしまいます。
また、1/∞＝0をご存知ですか？これを使うとAn=1/nはn→∞としたときに収束するので、級数Σ（）*1/nは収束すると思うのですが・・・
補足お願いします。

2、x-a=hでやってみたください。するとx→aのときh→0ですよね。
3、かなり数学好きなお方ですね。ここに関してはなんとも言えませんが・・・　　使っても大丈夫じゃないでしょうか？
4、書かなくていいでしょうね。ここも何とも言えません。大学、学部、採点者とかによるんでないかな？
てか、そこまでよく分かってるのであれば、そこまで書こうと書きまいと合格できると思いますが・・・
5、まあ、定義的にいけばdf(g(x))/dx=dg(x)/dx*df(g(x))/dxですのでそのままって言えばそのままですが、指数関数対数関数や三角関数、簡単な多項式なんかで試してみたらいかがですか？

回答No.4

Tacosan

1 だけ:
「数列 An, Bn が全ての n に対し An ≧ Bn かつ n→∞ で Bn→∞ なら n→∞ で An→∞」を使っていいなら簡単で,
Σ(k=2^(n-1)→2^n) 1/k ≧ Σ(k=2^(n-1)→2^n) 1/2^n = 1/2
から
Σ(k=1→2^n) 1/k ≧ Σ(i=1→n) 1/2 = n/2
として n→∞ にする.

回答No.3

tono-todo

1)高校生レベルでは無理

2)h=0,x=a点での微分係数であり、定義通りではないですか？

3)マクローリン展開を使うのは禁じ手です。
「cosx=1-x^2/2!などはx-2についてとき」何？

4)sinx/x→1という公式がありますが
こういう公式はない
sinx/xのｘ→０の極限を求めるのはかなり高校生の数学では、無理。
高校では、ｘが小さい時　sinx=x で近似できる、と頭から教えているのではないでしょうか。余計なことは書かぬ方がよい。何を書いているのかこれでは相手に伝わらない。

5)定義通りの微分で、シックリこないと言われても。
大学の数学をかじるより、高校の数学をしっかり身につけましょう。

回答No.2

Mr_Holland

１．は積分を使うと良いと思います。
　　Σ[n=1→∞] 1/n　＞　∫[0→∞] 1/x dx →∞
　∴Σ[n=1→∞] 1/n　→∞
　グラフ上に、y=1/x のグラフと、原点からｘ正方向に沿って幅１で高さ1/1,1/2,1/3,1/4,・・・の長方形を並べたものを描いてください。
　求めたい無限級数はすべての長方形の面積を足したものであり、上の式の右辺（積分）は、0≦xにおけるy=1/xのグラフとｘ軸との間の面積に相当します。上式の不等号の向きは図を見れば一目瞭然です。

　３．のマクローリン展開を大学受験で使うのは、やめておいた方が無難です。しかも、途中の次数までの近似を使うのであれば尚更です。

　４．は説明不要で１としても構いません。公式なのですから。「{cos(x)}^2+{sin(x)}^2＝１」を証明無しで使うのと同じ事です。