正弦波の複素数表示

質問

Ａsin(wt+θ)の正弦波波形の複素数表示は
(1)Ａ{cosθ+jsinθ}　なのか
(2)Ａ/√2{cosθ+jsinθ} なのかで悩んでおります。

「なっとくする電気回路」(講談社) P79 問4.2(1)
次の正弦波波形の複素数表示を求めよ。
２sin{wt+(π/4)}
(答)
２{cos(π/4)+jsin(π/4)} = √2 + j√2
この解答からは(1)であると解されます。

一方、詳解電気回路演習(上) P102 問19
ある回路の電圧の瞬時値が
e = 100√2sin{120πt+(π/4)}
であるとき、これらを複素数表示せよ。
(答)
100{cos(π/4)+jsin(π/4)} = 70.7+j70.7
この解答からは(2)であると解されます。

両問題は同じことを聞いている(?)と思いますが
解答の論理が異なっているように思います。
(角周波数が与えられていることが何か影響している？)
どちらが正しいのでしょうか？
よろしくお願い致します。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

回答よりも先に一言。
>Ａ/√2{cosθ+jsinθ}
この式、いいたいことはわかるのですが、次のように書くようにしてください。
(Ａ/√2){cosθ+jsinθ}
元の書き方では{cosθ+jsinθ}が分母にかけられているのか分子にかけられているのか(見方によっては√の中に入っていると見ることもできる)判断できないので、明確に判るように書いてください。

さて、ご質問への回答ですが、これは複素数表示をどのように定義しているのかで変わる、としかいいようがありません。

(1)の定義は複素数の絶対値=振幅、となるような記述方法です。
この書き方だと複素数表示から電圧の時間変化の式に書き換える際に便利です。
ただ、電力を計算するときは係数をつける必要があります。

(2)の定義は複素数の絶対値=実効値、となるような記述方法です。
この書き方だと複素電力の計算をする際に係数を1にできるので便利です。
ただ、時間変化の式に書き換えるには係数をつける必要があります。

私はよく(2)の方法で記述しますが、もし問題で指定がないようでしたら一度どちらの流儀で表現しているか指定したほうが無難でしょう。

お礼

ご回答とご指摘ありがとうございました。
複素数表示の定義は一つではないということですね。
複素数表示の意味と効果をもう一度確認してみたいと思います。