フーリエ変換と電力スペクトル密度

質問

ある信号の周波数スペクトルを調べたい場合は、その信号をフーリエ変換すれば求まります。
これに関連して、いまこの信号の電力スペクトル密度（横軸-周波数）を知りたい場合の計算方法がわからなくて困っています。
電力スペクトルの定義を与えている参考書はいくつかありましたが、漠然すぎて自分には理解できませんでした。
具体的に、大きさA、パルス幅Tの非周期信号の電力スペクトルを求める式はどうやって表すのか教えてください。

回答No.4

mmky

追伸

f(t) のフーリエ変換が　f(ω) ですね。その電力スペクトラム（密度）が　{f(ω)}^2, でその自己相関関数は、{f(ω)}^2　の逆フーリエ変換になりますね。この三つが指針ですね。

f(t)＝A :[-T/2 ～+T/2}
f(t)＝0 :以外
f(ω)=∫[-∞ ～+∞}f(t)*e^-jωtdt
=∫[-T/2 ～+T/2}A*e^-jωt dt=2A*sinω(T/2)/ω

{f(ω)}^2=f^2(ω)=4A^2*sin^2(ωT/2)/ω^2

自己相関
ρ(t)=(1/2π)∫[-∞ ～+∞}f^2(ω)*e^jωtdω
=(1/2π)∫[-∞ ～+∞}f^2(ω)*cosωt dω
これは、ρ(0)=T, ρ(±T)=0 の三角波ですね。

参考書にはいろいろなことを書いてると思いますがね。参考程度に

回答No.3

keyguy

ウィーナ・ヒンチンの定理により
自己相関関数を求めフーリエ変換すれば電力スペクトル密度が求まります
自己相関は集合平均で求めるのが望ましいのですが
信号集合を用意して計るのは実用的でないので
弱エルゴート性が成立しているもとのして
通常は時間平均で求めます

回答No.2

Rossana

連続スペクトルの場合のParsevalの等式
∫[-∞ to ∞]|f(t)|^2dt
=(1/2π)∫[-∞ to ∞]|F(ω)|^2dω
で左辺は信号の全エネルギー量．一方，右辺の量は，角周波数がωからω＋dωの間の信号のエネルギーを足し合わせて全エネルギー量を表現したものと考えられます．信号の強さをエネルギーで表す場合は，ωの関数としての信号の強さは，|F(ω)|^2に比例すると考えられますね．したがって，|F(ω)|^2をf(t)のエネルギー密度スペクトル(Energy Spectral Density:ESD)といいます．

電力スペクトル密度(Power Spectral Density:PSD)は，ESDの時間平均なので，非周期信号の場合，
lim[T_0→∞]|F(ω)|^2/T_0
がPSDを表していることになります．ですが，この場合，mmkyさんが計算してくれた式を使うと，エネルギースペクトルは各周波数が0から2π/Tの間の低い値で大部分を占めていることが分かりますが，この式で計算すると，PSDは0になってしまいますね．ちょっと僕自身PSDの理解が不十分なので，PSDの式lim[T_0→∞]|F(ω)|^2/T_0についてはあまり信用しないで下さい．

回答No.1

mmky

[大きさA、パルス幅Tの非周期信号の電力スペクトルを求める式]

f(t)＝A :[-T/2 ～+T/2}
f(t)＝0 :以外
f(ω)=∫[-∞ ～+∞}f(t)*e^-jωt
=∫[-T/2 ～+T/2}A*e^-jωt=2A*sinω(T/2)/ω

E=(1/2π)∫[-∞ ～+∞}|f(ω)|^2dω
=(1/2π)∫[-∞ ～+∞}4A^2*sin^2ω(T/2)/ω^2 dω
=(2A^2/π)∫[-∞ ～+∞}{sin^2(ωT/2)/ω^2}dω
後は数学問題
参考程度に