熱力学のことでこまっています。

質問

熱力学のガスサイクルの問題なのですが、分からずに困っています。
問題は、
「中間冷却を行う隙間のない2段圧縮往復動式圧縮機を考える。低圧圧縮機により温度TA、圧力PAの理想気体(ガス定数R[J/(kg・K)]、比熱比κ)を吸収して可逆断熱的に圧力PCまで圧縮し、等圧的に温度TAまで冷却し、高圧圧縮機で可逆断熱的に圧力PBまで圧縮して排出する。圧縮機を運転する全仕事量を最小にする条件は PC^2=PA×PB であることを導け。」

というもので、ずっと考えているのですが、条件の式までたどりつけず、困っています。助けて下さい。お願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

まず確認ですが，最後の排出は等圧排出とします。
長いので，方針のみ示します。

体積変化をV1→V2→V3→V4→0とします。
変化を追跡すると
PA・V1^κ=PC・V2^κ
PA・V1=PC・V3
PC・V3^κ=PB・V4^κ
が成立します。これを用いて，
W1=-∫[V1～V2]PdV=PA・V1^κ∫[V2～V1]V^(-κ)dV
W2=-∫[V2～V3]PdV=PC(V2-V3)
W3=-∫[V3～V4]PdV=PC・V3^κ∫[V4～V3]V^(-κ)dV
W4=-∫[V4～0]PdV=PB・V4
をPA,PB,PC,V1,κだけで書きなおします。
W=W1+W2+W3+W4　をPCで微分して0とおき，Wを最小とするPCの条件を求めると，PC^2=PA・PB　を得ます。

回答No.2

yokkun831

ごめんなさい。吸入時の仕事を忘れました。
W0=-∫[0～V1]PdV=-PA・V1
W=W0+W1+W2+W3+W4
もちろん，条件に変わりはありません。

お礼

ありがとうございました。おかげで、条件の式までたどりつくことができました。分かりやすいご回答、本当にありがとうございました。