積分

質問

1/(sinx+cosx)の積分
sin^n(x)の積分
のやり方を教えてください。

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

「ヒントだけ」って言って、積分の結果を書いちゃ
ダメじゃん。

１個目は、
No.1 のようにするのが、教科書的というか、参考書的。
たいていの本に、ああやってある。

思いつかなければ、いつものように、
t = tan(x/2) で置換積分する力技も有効。

sin x = 2t/(1 + t^2),
cos x = (1 - t^2)/(1 + t^2),
dx = dt/(1 + t^2).
となるから、分数式の積分で済む。

２個目は、
部分積分が使える。
sin^n x = (sin x)(sin^(n-1) x) と積に分けて、

∫(sin^n x)dx
= (- cos x)(sin^(n-1) x) - ∫(- cos x)・(n-1)(sin^(n-2) x)(cos x)dx
= -(cos x)(sin^(n-1) x) + (n-1) ∫(sin^(n-2) x)(cos x)^2 dx
= -(cos x)(sin^(n-1) x) + (n-1){ ∫(sin^(n-2) x)dx - ∫(sin^n x)dx }
より、
∫(sin^n x)dx
= (-1/n)(cos x)(sin^(n-1) x) + {(n-1)/n} ∫(sin^(n-2) x)dx
と判る。

n が 2 づつ漸化できて、最終的には、
∫(sin^0 x)dx　と　∫(sin^1 x)dx　が計算できればよい
ことになる。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.2

info22

問題の丸投げなので（ヒント）だけ

（前半）
∫1/(sinx+cosx)dx
=(1/√2)∫1/sin(x+π/4)dx
=(1/√2)∫sin(x+π/4)/sin^2(x+π/4)dx
=(1/√2)∫sin(x+π/4)/[{1-cos(x+π/4}}{1+cos(x+π/4}]dx
=(1/√2)∫(1/2)[1/{1-cos(x+π/4}}+1/{1+cos(x+π/4)}](-cos(x+π/4))'dx
=(√2/4)[log(1-cos(x+π/4))-log(1+cos(x+π/4))]
=　　←(後は式を簡単にする)

（後半）
nが奇数の場合と偶数の場合では、積分の形が異なるのでnの偶奇で場合分けして積分を求めると良い。
分からない場合は
具体的なnの値を与えて積分して見て下さい。その積分結果から一般のnについての積分の式を類推して求めるとよい。

質問する場合は、分かる範囲で自力解答を作ってその詳細を補足に書いた上で、行き詰っている箇所の質問をするように！

お礼

回答ありがとうございます

回答No.1

rnakamra

1/(sinx+cosx)の積分
1/(sinx+cosx)=1/{(√2)sin(x+π/4)}
ですので、1/sinxが計算できればよいことになります。
∫(1/sinx)dx=∫{sinx/(sinx)^2}dx
=∫{1/(1-(cosx)^2)}d(-cosx)
=∫(1/2){1/(1-cosx)+1/(1+cosx)}d(-cosx)
=(1/2)ln{(1-cosx)/(1+cosx)}+C
かな。(公式集でも見れば載っているが)

sin^n(x)の積分
これは一筋縄ではいきません。
よくあるのは(sinx)^2=(1-cos2x)/2の変形を使って次数を減らしていく方法か、nが奇数の時は、(sinx)×(cosxの関数)の形にしてt=cosxと置換して積分する方法でしょうか。

お礼

回答ありがとうございます