トポロジーの問題

質問

トポロジーの問題なのですが、全然分からずに困っています。ボルスークの対心点定理を使うみたいなのですが…分かる方、ご助言お願いいたします。
(1)
コンパクトな図形 X⊂Rn　と点p∈Rn に対して
d(p,x) (x∈X) の値が最小となるような点ｘ＝ｘ0∈X
が存在することを示せ（この最小値d(p,x0)の値をd(p,X)で表す）

(2)
コンパクトな図形　X⊂Rn　に対して、f(y)=d(y,X)で定義される写像f:Rn→R は連続であることを示せ
(点列ynが点pに近づくとき、d(yn,X)がd(p,X)に近づくことを示せ）

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

対心点定理など使うまでも無く示せます．

(1)
一般に，距離関数は（２変数関数として）連続であり，
コンパクト集合上の連続関数は最大最小を持つため．

(2)
まず d(yn,X) = d(yn,xn) を満たす xn ∈ X を取ります．
一般に，コンパクト集合上の無限列は収束する部分列を持つので，
xn は収束部分列を持ち，添字を付け直して xn → x ∈ X とします．
d は２変数関数として連続なので
　d(y,x) = lim d(yn,xn)
です．また，xn の定義から，任意の x* ∈ X について
　d(yn,xn) ≦ d(yn,x*)
であり，両辺で n→∞ とすることで
　d(y,x) ≦ d(y,x*)
となって d(y,x) = d(y,X) を得ます．

以上より
　d(y,X) = d(y,x) = lim d(yn,xn) = lim d(yn,X) = lim d(yn,X)
が得られました．