この級数を教えてください。

質問

この級数の収束、発散を調べよ。

Σ(logn)/n^2

よろしくお願いします。

回答No.1

uzumakipan

こんばんは。問題の丸投げは削除対象です。ですから、本来は質問者さんがある程度考えた足跡のようなものがあれば、それを書き込んで私を含む回答者さんたちがアドバイスなり添削をするのがここでのルールです。次回からそうしてくださいね。一応、回答へのアプローチを記したいと思います。

この級数は正項級数です。一般に級数の収束発散を調べる判定法は何通りかの方法があって、どの場合にどの判定法をつかうかはケースバイケースです。主に

(1) a_{n+1}/a_n　が１よりも小さい、またはその極限値が１よりも小さい
(2) (a_n)^{1/n} が１よりも小さい、またはその極限値が１よりも小さい
(3) x≧N (Nは自然数) で単調減少な連続関数f(x)が存在して、f(n)=a_n (n≧N) であるとき lim{K→∞}∫{K～N}f(x)dx が有限値をとる

のいずれかで判定できます。（他にもあるかもしれまんせが、私は知りません。）

さて、問題に戻りますが、この正項級数の場合 (1),(2)は使いにくそうです。そこで、(3)を使うことにします。

そこで、まず

(ア) f(x)=(log x)/x^2 とおいてf(x) がある数以上では単調減少であることを示す。
(イ) (ア)を示せたら、(3)を使う条件が満たされたので　∫{K～N}(log x)/x^2 dx を計算して　K→∞ とします。

そうすれば、この積分は有限値をとりますので、問題の正項級数は収束することがわかります。

(ア) では微分法を使って極値を求めると単調減少であることが分かります。

(イ) では部分積分とロピタルの定理を使えばよいです。

解答に行き詰ったら、備考欄に質問を書いてください。
ではがんばってください。