伊藤清「確率論」中の式変形について

質問

伊藤清の「確率論」を読んでいます。
p.100の部分で分からない部分があります。

μ_n(-a, a) → μ_n(R) (a → ∞のとき) なので、
μ_n(R) = lim[b→∞] 1/b ∫[0,b] μ_n(-a, a) da

となる部分です（μ_nはボレル集合上の測度）。

式変形について教えて頂けると幸いです。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

単なる「式変形のテクニック」というだけの話じゃなく、また確率論に限ったことでもない。要するに、fが非負の実数から非負の実数への単調増加関数であって、しかも
　　∃g ( gは非負の実数 ∧ lim[a→∞] f(a) = g )…(1)
であるとき、さて
　　g = lim[b→∞] (1/b)∫[0,b] f(x) dx…(2)
は成立つか、というのがポイントですね。
　と言われたら、測度論や確率微分方程式論のようなムズカシイ本を読めるだけの素養のある方ならピンと来るんじゃないでしょうか。ですから、まずは、
　　lim[x→∞] h(x) = p
ってそもそも一体どういう意味なんだっけ、というところからお考えになると宜しいかと。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、
lim[a→∞] f(a) = ∃g …(1)
であれば、
∀ε>0 ∃M∈R s.t. a>M ⇒ |f(a)-g|<ε
となるので、f(x)が有界であれば、∃N=sup{|f(x)| |0≦x≦M} がとれて
あとは、Mより大きいところと小さいところで積分範囲を分けて考えれば良いわけですね。

例えば、b=Mε^(-1)として、

|(1/b)∫[0,b] (g-f(x))dx|≦ (1/b)(∫[0,M]+∫[M,b])|g-f(x)|dx
≦(1/b)(g+N)M + (1/b)ε(b-M）
=ε(g+N-ε）

となり、(2)が示せるということですね。
助かりました。ありがとうございます。