ネイピア数と指数対数の極限

質問

lim[h→0](a^h-1)/hの極限を、lim[h→0](e^h-1)/h=1 （a＞0,aは1でない）を用いてもとめようとしています。
t=a~h-1とおいて、
a^h=t+1より、ｈ＝log[a](t+1)
これを、log[a](t+1)=log[e](t+1)log[a]eと考えて、
lim[h→0](a^h-1)/h=lim[t→0]t/{log[e](t+1)log[a]e}=lim[t→0]1/1/t{log[e](t+1)log[a]e}
のように考えました。
しかし、どこでlim[h→0](e^h-1)/h=1 をどのように用いたらよいのかが見当がつきません。
識者の皆様、アドバイスをいただけないでしょうか。

回答No.3

narucross · ベストアンサー

こんばんは。＃１さんの回答は理解できたのでしょうか。

＞lim[t→0]1/log[a]e^1/tというところまで考えたのですが、どうも
この先が思いうかびません。

「log[a](t+1)=log[e](t+1)log[a]eと考えて」と書いてらっしゃいますね。定数部分はlimの外に放り出せます。

どのへんまで理解が進んでいるのかわかりませんが、ポイントとなる式を抜粋して書いてみます。

（求めるべき極限値） =lim[t→0]t/h
h=log[e](1+t)より、
（以下全て底はe、t→0とする）
　　　　　　 =(log(a))*lim(t/log(1+t))
=(log(a))*lim(1/(1/t)*log(1+t))
=(log(a))*lim(1/log(1+t)^(1/t))

ここで、(1+t)^(1/t)部分に着目すると、ネイピア数の定義の式より、
eに近づくことがわかります。すなわち、分母はlog(e)つまり1に近づき、これより求めるべき極限値はlog(a)ですね。

＞lim[h→0](e^h-1)/h=1 ＊を用いる、という制約にはどこで対応したことになるのでしょうか。

ネイピア数の定義の式を変形するとこの上の式＊になります。つまり、ネイピア数の定義の式を用いて不定形の解消をしたときに間接的に＊を用いたことになっていると考えられます。出題者からすれば、この＊の式を変形して、ネイピア数の定義の式を導いて使って欲しかったのかもしれませんが、そうであろうとなかろうとネイピア数の定義の式は重要なので暗記する必要があります。

lim[h→0](1+h)^(1/h)=e≒2,71828...（鮒一鉢二鉢）

お礼

ご回答有難うございました。
大変参考になりました。

回答No.2

Tacosan

純粋に疑問なんですが a = e^(log a) だから
(a^h - 1) / h = (e^(h log a) - 1) / h = (log a)[(e^(h log a)-1) / (h log a)]
ってやっちゃいけないのかなぁ?

回答No.1

proto

最後の式からもう少し変形します。
考え方だけ、最後の式分母に注目して
　　lim[t→0]{(1/t)log[e]{t+1}} = lim[t→0]{log[e]{t+1}^(1/t)}
　　　　　　　　　　　　　　　　= log[e]{e} = 1

補足

回答ありがとうございます。
lim[h→0](e^h-1)/h=1 を用いる、という制約にはどこで対応したことになるのでしょうか。
lim[t→0]1/log[a]e^1/tというところまで考えたのですが、どうも
この先が思いうかびません。
宜しければ、伺えないでしょうか。