数学の問題がわかりません。

質問

下の展開図で示される四面体の体積はどのようにしてもとめていいのか、どのようにとけばいいのでしょうか？

△▽△▽△▽△　

でそれぞれの△▽の隙間をくっつけて、四面体の体積を求めたいのです。
それぞれの△の長さは底辺√２、２つの斜辺は√１０です。

アドバイスお願いします。

回答No.9

info22

#8です。
A#8の補足質問について
>余弦第二定理を使えば　h=6/√19…(C)
>に関して、どのように求めればいいのでしょうか？
頂点Aから底面△BCDに下ろした垂線AHが高さhですが、
辺CDの中点をMとすると断面の△ABMの高さがAH=hになります。

CD=√2,CM=DM=(√2)/2,BC=CD=√10から三平方の定理から
AM=MB=√{BC^2-CM^2）=√(19/2)
△ABMで、角AMBをθとおくと余弦定理から
cosθ=(AM^2+BM^2-AB^2)/(2*AM*BM)=17/19
これから
sinθ=√(1-cos^2θ)=6(√2)/19
h=AMsinθ=√(19/2)*6(√2)/19=6/√19　…(C)
と求まります。

#7さんの便乗質問について
四面体の全ての辺の長さが与えられている場合の体積公式
四面体の4頂点の座標がが分かっている場合の体積公式
1つの頂点から出る３つの各辺のベクトルが分かっている場合の体積公式
については
次のURLに載っていますので参考にして下さい。
ttp://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/figure/tetrahedronvolume.htm

回答No.8

info22

図の間違いでしたか？おかしいと思っていました。

四面体は三角錐ですから
底面の三角形の面積S、高さhから
体積V＝Sh/3…(A)
で計算できます。
底面の三角形を△BCDとし頂点をAおくと
AB=CD=√2, AC=AD=BC=BD=√10
になるので
底面の△BCDの面積S=(√(10-(1/2))*(√2)/2=(√19)/2…(B)

高さhはCDの中点をMとすれば
△ABMの高さAHが三角錐ABCDの高さhになり
余弦第二定理を使えば
h=6/√19…(C)
と出てきます。
(B),(C)を(A)に代入すれば体積Vが出てきます。
これくらいはできますね。

補足

回答ありがとうございます。
質問なのですが、
余弦第二定理を使えば　h=6/√19…(C)
に関して、どのように求めればいいのでしょうか？
余弦定理の公式は知っているのですが、どのように適用していいのかわからくて。
教えてください。

回答No.7

echizenist

回答者として、ではなく、今後のためでもあるのですが、二等辺三角形
だけではなく、鋭角三角形で、三辺の長さが異なる合同四面体の体積を
一般に求める方法まであった、と思うのですが、回答者のみなさん、ご存知ならば教えていただきたいのですが。便乗質問で申し訳ありませんが、新たに似た問題を投稿するのもどうかと思ったので・・・

回答No.6

Tacosan

確認ですが, 各三角形の上下の辺の長さが √2, その他の辺の長さが √10 ということですか?
もしそうなら, できあがる四面体は長さ √2 の 2本の辺が向かい合い, その間に 4本の辺 (すべて長さは √10) があるという構造になります.
そして, その体積は偶然にも簡単に計算できて
1×1×3×(1-4/6) = 1
となります. ああ, もちろんいずれかの面を底面とみなし, 残り 1頂点までの距離を計算してもかまいません.

補足

回答ありがとうございます。

1×1×3×(1-4/6) = 1
という式がよくわかりません。
教えてください。

回答No.5

echizenist

あれ、NO.３の方が書いておられることですか？
四面合同の四面体ですよね？確認しておきますが。
ただの三角錐なら、中学学習の範囲で解けますよ。

回答No.4

echizenist

まず、NO１の方が書いておられるとおり、四面体の問題だとすると
△が３つ多いですね。四面体の問題ということで、解決法をここに
書きますが、このタイプの問題は解法がひとつではないので、他の
解法もちゃんと身につけて欲しいですが。数学は、こういう方法も
あるよ、ということで紹介します。オイラーの公式の四面合同の時
に使える数式です。”７２V＝（-a^2+b^2+c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+
b^2-c^2) ”です。この式でVは体積、 ”^２”は2乗をあらわしてい
ます。でも、あなたが高校生なのか、大学生なのかわからないので、
もし高校生なら最終手段だと思ってください。この公式以外の解法
もあったと思うのですが、残念ながら失念してしまいました。
他の解法の方が重要な可能性が大きいので、締め切りを少し待って、
いろんな解法を参考になされたほうがいいと思います。
他の方よろしくお願いします。

回答No.3

debukuro

底辺が√２、他の二辺が√１０の二等辺三角形三つと辺が√２の正三角形一つで構成された三角錐ですね
三角錐の体積の公式
中学校で習ったでしょう
思い出して計算してください

回答No.2

never-ness

四面体って、普通面は４つですよね。あなたの提示したものは７面あります。

ひょっとして「正八面体」のこと？

正八面体の体積の公式は

(√2/3)a~3です。

補足

すいません。
△▽△▽

です。
図を間違えてすいません。

回答No.1

spring135

四面体とは4つの面を有するもの。
展開図は面が多すぎませんか。

補足

すいません。
△▽△▽

です。
大変申し訳ありません。
この考え方教えてください。