三角形で１＋１＝１となる問題？

質問

昔、中学のときの先生に言われた問題が、いまだに頭の中にひっかかっていますので、どなたか教えてください。

1辺が1mの正三角形があるとします。底辺は1m、2つの斜辺の合計は1+1=2mになります。斜辺の中点を結んだ線で2つ折りにします。

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直線の本数が増えましたが、長さの合計は変わりません。

これを何度も繰り返していくと、小さな山の高さがどんどん小さくなって、最後には底辺と同じ長さ(1+1=1m)になってしまう、というのが問題です。

これは、どう考えたらよいのでしょうか？

回答No.9

jjon-com · ベストアンサー

>黒板に図を書いたりして目に見えるように試してみると
>２つの辺が底辺に重なってしまうように見えます。
>だけど、数学的には違うということでしょうか。
>（回答No.4へのお礼）

そういうことでしょう。

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PCの画面に表示されている上の図形，この距離ではジグザグの線に見えるけれど，PCのディスプレイから５～６メートル離れて眺めてみたら直線にも見えてしまう。

大まかに眺めていると長さ１の直線と重なって見えるかもしれないけれど，近づいてみると細かいジグザグの集まりでその長さは２かも（10かも，100かも）しれない。

だから同じに「見える」ことを同じである根拠にしてはいけないよ，そして数学では直線を「太さを持たない」ものと決めているんだよ，と。その先生はそういう話の流れにしたかったのかもしれません。

回答No.8

21s-a

#2です。誤解を招くような回答をして申し訳ありませんでした。
「1＋1≒1にはなりますが1＋1＝1にはなりえない。」
というのは実際の数値（数式）ではありません。
あくまで例えとして正三角形の底辺でない二辺を折りそれを繰り返していくと視覚的には≒１（つまりほとんど底辺と変わらなくなる）が≒１（厳密に長さが等しくなることはない）という意味です。左辺の１はそれぞれ、質問者様の言う斜辺、右辺の１は底辺の例えです。
実際の長さは変わりません。
ちなみに「１÷３×３＝１にはならない」というのは
１/３＝0.3333333333.......であり
0.3333333333333333333...×3≠１　というものです。

ただこれにしても先述の山型の問題でも、数学・学問的に考えることはできても普通一般に生活する上ではほとんど影響がないですよね。
そんなレベルまで追求するところが学問の魅力であり面白さでもあると思いますけど。。笑

ややこしい例え方をして申し訳ありませんでした。
ご指摘ありがとうございました。

回答No.7

noname#130082

数列ならぬ「図形の列」の問題ですね。
三角形の分割された上の部分は平面上の関数のグラフと考えられますから、
f0（最初の三角の上部分）、f1（１回二つ折り）、f2（２回二つ折り）、...
というような連続関数列を考えているわけです。長さは変わらないですが。
これは「最後」というものはありません。でも「極限」は考えられます。何しろ収束してますから。
最後を極限の意味で捉えれば、極限は直線になります。
ということは、
●「極限をとる」という操作では「長さ」は保存されない、
ということですね。各項の長さはすべて２ですが、極限は１だ、というだけのことです。

お礼

回答ありがとうございます。
「最後」という言い方がまずいわけですね。
この先生が私たちに「最後には…」と言ったのを
「極限」という意味でとらえていたのかもしれませんね。

回答No.6

ur2c

これはフラクタル
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB
につながる話です。

先生の意図も「おもしろいでしょ、こんな数学もあるよ」という方向にあっただろうと想像します。

お礼

回答ありがとうございます。
そうですね、確かに面白いです。
こうやって何十年も頭の中に残っていましたから。
結論というか解答は教えてもらえなかったのですが、
数学的には辺の長さの合計は変わらないってことのようですね。

回答No.5

kabaokaba

よくある無限のパラドクスの一種ですね．

ただし，
>よって1＋1≒1にはなりますが1＋1＝1にはなりえない。
これは間違っているので要注意．

あくまでも「山型」は長さが2のまま，
山であることと，平らであることは
どこまでいっても変わりません．
これのトリックはすでに指摘されているとおり「無限」であり
この場合は，「長さ」と「形」ということで
さらにフィルターがかかっているのです．

「形Aが別の形Bに近づく」といっても
「形Aがもつ属性X」が「形Bがもつ属性Y」に近づく
とは限らないのです．
山型という形は確かに形としては
底辺である直線に「近づく」
（一様収束という結構強力な近づき方，
ほかにも図形が近づくというのは何種類かある）のですが
長さという属性は変わらないのです．

この図形そのものは面白い性質があって，
一回の折り返しで，
三角形の面積は半分になりますよね．
これをどんどん繰り返していくと，
たくさんできる三角形の面積の総和はどうなるでしょうね．
面積はどんどん小さくなる，けど周りの長さは変わらない．
しかし周りの図形はどんどん複雑に
（この場合ぎざぎざが細かく）なる．
こういうのを突き詰めたのが
カオスとかフラクタルと呼ばれる数学の分野
（複雑系とか力学系という，かなり工学よりの領域）で，
周りの長さが無限大であっても囲む面積は有限の図形とかが
でてきたり，√2次元とかいう妙な次元が顔を出します．

お礼

回答ありがとうございます。
おっしゃっていることがよく分かりませんでした。
三角形の面積が半分になるというのだけ、わかりました。

回答No.4

naniwacchi

「無限」という言葉を使ったパラドックスですね。

1回折り込むたびに、
・直線の長さは半分になりますが、
・直線の本数は倍になります。
よって、全部の長さは変わりません。（2mのままです）

無限大というのは、通常扱うような数とは違います。
（単純に大きさ比較ができないなど）
有限の操作をそのまま無限に拡張しようとしているところで、矛盾が発生します。

同じようなものとして、「アキレスと亀」の話があります。

お礼

回答ありがとうございます。
黒板に図を書いたりして目に見えるように試してみると
2つの辺が底辺に重なってしまうように見えます。
だけど、数学的には違うということでしょうか。

回答No.3

15467980

＞最後には底辺と同じ長さ(1+1=1m)になってしまう、というのが問題です。

スケール的に小さくなるだけであって、2ｍは変わりません。
１辺が消えるということはありえないからです。

中学生にそんなことを教えるとは・・

「１÷３×３＝１にはならない」をやらせるようなものですね。

お礼

回答ありがとうございます。
計算機で１÷３を計算し、その答えに×３をしても
１にならないのはわかりますが、
「１÷３×３＝１にはならない」って本当ですか？

回答No.2

21s-a

私が知っているのは半円の周のパラドックスですが。。。

小さな山の高さがどんどん小さくなり次第に目には見えなくなりますが拡大してやれば必ず山型です。まっすぐになることはないです。高さが小さくなるかわりにそれだけ山の数が増えます。
よって1＋1≒1にはなりますが1＋1＝1にはなりえない。

と教わりました。
なにかのヒントになれば幸いです。

お礼

回答ありがとうございます。
三角形の山が小さくなっても辺の長さの合計は変わらないので「１＋１＝２」
のままだと思うんですが…
この三角形を考えたとき「１＋１≒１」つまり「１＋１≠２」となるのは
どんなときでしょうか。

回答No.1

noname#99860

１回で高さが２分の１になるわけですね。

> これを何度も繰り返していくと、

何回でしょうかね？

有限回数なら 「かける0.5」をその回数だけ掛け算しても
0より大きい数字です。

「無限に」なら「最後」がありません。

つまり「ひっかけ」です。

お礼

回答ありがとうございます。
「無限に」イコール「最後がない」から「ひっかけ」
ってことでしょうか？言葉遊びの世界でしょうか？