連続の証明

質問

x^2がRで連続であることをしるせ。という問題です。

∀a∈Rに対して、x^2がa連続であること、つまり
∀ε>0,∃δ>0,|x-a|<δ⇒|x~2 - a^2|<εをいえばよい、
|x^2-a^2|=|(x-a)(x+a)|…(*)
(*)から先の不等式の変形がわかりません。どなたか教えてください。

回答No.3

waseda2003 · ベストアンサー

本質的には＃１でＯＫです。ただ，

δ = min{ε/(1+2|a|)，1}　（２数のうち小さい方）

など手を加える必要があります。実際，|x-a|<δのとき

|x^2-a^2|≦|x-a|(|x|+|a|) < δ(2|a|+δ)≦δ(2|a|+1)≦ε

となります。
δの見つけるには，＃１のようにδ’とおいて満たすべき条件を書けばわかりますが，答案をまとめるときには仮定と結論を混同しないように注意します。

お礼

どうも、ありがとうございまあした。もし、ε－δ論法を学ぶのに、いい本があったら教えてください。

回答No.2

eae

>任意のε>0に対し、
|x-a|<ε/(1+2|a|)
ととれば十分。たぶんね。

やっぱこれじゃだめですね。
任意のεではやっぱだめ。
εと2|a|の大小で場合分けが必要みたい。
すくなくともそうすりゃ出来ると思います。

回答No.1

eae

|x-a|<δ'とすると
|(x-a)(x+a)|<=|x-a|(|x|+|a|)<δ'(2|a|+δ')

任意のε>0に対し、
|x-a|<ε/(1+2|a|)
ととれば十分。たぶんね。