統計力学 大正準集団における２成分系の関係式

質問

教科書の証明問題なんですが、

化学ポテンシャルがμ1、μ2、粒子数がN1、N2であるような２成分系を大正準集団で扱うときに、次の関係式が成り立つことを示せという問題です。

<N1*N2>-<N1><N2>=kT(dN1/dμ2)_V,T,μ1
=kT(dN2/dμ1)_V,T,μ2
（dは偏微分で、_以降が一定条件です）

k:ボルツマン定数
T:温度
V:体積

です。

N1=　はN1,μ1の式になると思うのですが、それをμ2で偏微分して問題の式のようになる意味が全然わかりません。

急ぎではないのですが、お時間ある時にお答え頂けるとありがたいです。

よろしくお願いします。

回答No.1

101325 · ベストアンサー

２成分系の大正準集団の分配関数Ξを

　Ξ(μ1,μ2,V,T)=ΣΣexp(μ1N1/kT + μ2N2/kT)*Z(N1,N2,V,T)　…(1)

と書けば（粒子数N1,N2の正準集団の分配関数をZ(N1,N2,V,T)とし、総和はN1,N2についてとる）、N1, N2, N1*N2の期待値はそれぞれ

　<N1>=ΣΣN1exp(μ1N1/kT + μ2N2/kT)*Z/Ξ　…(2)
　<N2>=ΣΣN2exp(μ1N1/kT + μ2N2/kT)*Z/Ξ　…(3)
　<N1*N2>=ΣΣN1N2exp(μ1N1/kT + μ2N2/kT)*Z/Ξ　…(4)

なので、

　<N1>=kT(∂Ξ/∂μ1)/Ξ　…(5)
　<N2>=kT(∂Ξ/∂μ2)/Ξ　…(6)
　<N1*N2>=(kT)^2(∂(∂Ξ/∂μ1)/∂μ2)/Ξ　…(7)

のように、Ξとその偏導関数で表すことができます（∂は偏微分で、一定条件と分配関数の引数は省略しました）。

> N1=　はN1,μ1の式になると思うのですが、それをμ2で偏微分して問題の式のようになる意味が全然わかりません。

式(5)～(7)から分かるように、<N1>, <N2>, <N1*N2>は、Ξと同様にμ1,μ2,V,Tの関数です。問題の式の dN1/dμ2, dN2/dμ1は、それぞれ∂<N1>/∂μ2, ∂<N2>/∂μ1 の意味です。

がんばって下さい。

お礼

返信が遅れてしまい、本当に申し訳ありませんでした。

無事そのような考え方で解くことができました。

ありがとうございました。