統計力学 密度

質問

田崎さんの統計力学IIの演習10.3でつまづいてしまいました．

問題の設定は
単位体積当たりの１粒子状態密度が定数ｃ＞０によってν（ε）＝ｃ（ε＞＝０），それ以外で０とあらわされる理想フェルミ気体の逆温度β，密度ρの平衡状態を考える．

フェルミエネルギーεfを求めよ．という問題で解答ではいきなり
ρ＝ｃεｆ
となっています．なぜこうなるのかを本を読んで考えた結果
ρ=∫_{0}^{εf} ν(ε) dε
を使っているのかなと思いましたが，この式は基底状態でのみ成り立つと思います．しかしこの問題では逆温度βの平衡状態であるので基底状態ではないですよね．

ぼくはどこを間違えてしまっていますか？よろしくお願いします．

回答No.3

g0m4 · ベストアンサー

No.2のものです。
なるほど、そういうことですか。質問者様の意図を読み間違えていました。
まず大前提として粒子数は温度に依りません。もちろん各準位の期待値は変わりますが、総数は変わりませんね。
すると\rho = N/Vで、今体積あたりのDOSを考えているのでV依存は消えるというわけです。

お礼

丁寧にありがとうございます．
理想気体では温度によって密度が変わるので勘違いしてしまいました．

すこし質問の書き方が悪かったです．助かりました！

補足

感覚として密度が温度によらないっていうのは気持ち悪いのですが、何を調べるとスッキリしますかね？よかったら教えてください。

回答No.2

g0m4

フェルミエネルギーは絶対零度でのエネルギー準位の上端です。ということで、その基底状態の式を使えば良いというわけです。
No1の方のご回答はケミカルポテンシャルになっておられるように思うのですが…。

お礼

回答ありがとうございます。

問題分で与えられた密度と絶対零度の密度は同じなのですか？その疑問が残ります。

いまからNo.1さんの回答についても考えてみます。

回答No.1

kappa_ena

惜しい！　間違ってはいないですよ。ただ、ちょっと問題の読み方が浅い。

∫_{0}^{εf} ν(ε) dε
は確かに基底状態における粒子の数を数えた式のように見えますが、実は有限温度でも（近似的にだったかもしれないけど）成り立ちます。この問題は、それを証明することを求めているのです。

一歩遡って、素直に有限温度で粒子の数を数える式から出発しましょう。
ρ=∫_{-∞}^{∞} f(ε,εf,β)ν(ε) dε
f(ε,εf,β)は、フェルミエネルギーεf、逆温度βでのフェルミ分布関数です。

これにν（ε）＝ｃ（ε＞＝０），それ以外で０を代入します。
ρ=c ∫_{0}^{∞} f(ε,εf,β)dε

次にf(ε,εf,β)のところにフェルミ分布の実際の式を入れて、積分を実行してください。必要ならεf>>1/βの条件下で使える近似を使いましょう。

お礼

返信おくれてすみません。
回答ありがとうございます。

素直に積分した式を使って密度ρを実現するような化学ポテンシャルを決めますよね。その式を展開するのですか？理解できませんでした。ほんとうにすみません。