単振動

質問

物体が単振動するときは物体に復元力がはたらく、
ということは理解できたのですが、それの逆の、
物体が復元力を受けて直線上を運動するときは物体が単振動する、
ということが理解できません。
物体が復元力を受けて直線上を運動するときは物体が単振動する、
というのは問題でよく使われる考え方なんですが、
「いつも単振動してるとは限らないのではないか？」
と思ってしまいます。
物体が復元力を受けて直線上を運動するときは物体が単振動する、
と考えていい理由を教えてください。
回答よろしくお願いします。

回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

物体に働く力が復元力のみでそれがF=-kxのフックの法則を満たす場合は必ず単振動になります。
実際に、
ma=-kx
と運動方程式をつくり、これを満たす解が単振動の式しかないことを示すことができます。

一番簡単な証明は、上の運動方程式を2階の微分方程式として解くことかな。

お礼

回答ありがとうございます。
これがまさに知りたかったことです。
ですが、微分方程式が解けません。ｘは
ｘ＝Asinｔ√ｋ／ｍ　Aは定数
にしかならないことを示すのでしょうか？
とりあえず両辺をｔで２回積分してみたら、
ｘ＝Be＾－ｋｔ／２ｍ　Bは定数
となってしまいます。
まだ微分方程式がほとんどわかっていないので・・・
すみませんが、解き方のヒントかなにかをもらえませんか？

回答No.6

hitokotonusi

>とりあえず両辺をｔで２回積分してみたら、

その積分が間違っていますね。
a=d^2 x/dt^2なのでa/xを積分しても対数にはなりません。

積分するなら両辺にdx/dtをかけて

m (d^2 x/dt^2)(dx/dt) = -k x (dx/dt)　　　(*)

として、

d(v^2)/dt = 2v dv/dt = 2 (dx/dt)(d^2 x/dt^2)
d(x^2)/dt = 2x dx/dt

の関係を使って(*)を

(1/2)m d(v^2)/dt = -(1/2)k d(x^2)/dt

としてから積分すると

(1/2)mv^2 + (1/2)kx^2 = E

というバネのエネルギー保存則が出ます。これをvについてとけば

v = dx/dt = ±√[2E/m　- (k/m)x^2 ] = ±w √[2E/mw^2 - x^2]

振幅をaとするとv=0のときにx=±aなのでE=(1/2)ka^2であり、
k=mw^2であることを使うと2E/mw^2 = a^2なので

dx/dt = ±w √[a^2 - x^2]

xを求めるにはこれをもう一度積分します。

お礼

お礼が遅れてしまい、申し訳ありませんでした。
回答ありがとうございました。

回答No.5

sanori

こんばんは。

物体の変位（場所）をｘと置き、
ど真ん中の位置がゼロとおけば、

加速度　＝　－　定数　×　変位
加速度は、変位を時刻で2回微分したものなので、文字で書けば

ｄ^2ｘ／ｄｔ^2　＝　－ｋｘ

となります。
つまり、（ｋの値がどうのこうのは、さておき）
ｘを2回微分したら、マイナスのｘになるわけです。

このような関数（ｘはｔの関数）の形としてどのようなものが考えられるかというと、
もっとも簡単なのは、ｅ^(it)　です。（ｉは虚数単位）

実際計算してみると、
ｅ^(it)　を１回微分したら、ｉｅ^(it)
2回目の微分をしたら、ｉ×ｉｅ^(it)　＝　－ｅ^(it)
ほらね？
2回微分すると、形は元のままで、符号がプラスがマイナスにひっくり返ります。
ですから、解の一つの形は、ｅ^(it) です。
ｅ^(-it)　の形もそうです。

また、オイラーの公式
ｅ^(it)　＝　cosｔ　＋　ｉsinｔ
ｅ^(－it)　＝　cosｔ　－　ｉsinｔ
より、
ｅ^(it)　＋　ｅ^(－it)　＝　２cosｔ
ｅ^(it)　－　ｅ^(－it)　＝　２ｉsinｔ
ですから、cos　や　sin　は、ｅ^(it)　の形の線形結合です。
つまり、cosｔ　や　sinｔ　の形も解です。

その証拠に、
cosｔ　を2回微分すれば　－cosｔ　ですし、
sinｔ　を2回微分すれば、－sinｔ　となりますよね？

以上のことがわかれば、あとは、係数などを調節するだけです。

基本の形は、
Ａｅ^(2πit/T　＋　α)　＋　Ｂｅ^(2πit/T　＋　β)

ｔ：　時刻
Ｔ：　周期
Ａ、Ｂ：　片側振幅
α、β：　初期の位相ずれ

となります。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

お礼が遅れてしまい、申し訳ありませんでした。
回答ありがとうございました。

回答No.4

BookerL

＞物体が復元力を受けて直線上を運動するときは物体が単振動する、
＞と考えていい理由

　正確には、物体が「変位に比例する」復元力を受けている場合、その運動は単振動になります。働く復元力が変位に比例していなければ、振動はしますが、単振動にはなりません。

　復元力が変位 ｘ に比例していると、その力は －ｋｘ と表せます（ｋ は比例定数）。この力がばねのような弾性体による場合は「フックの法則」ですが、力の原因が弾性体でなくてもかまいません。

　さて、物体に働く力が　ｆ＝－ｋｘ　であると、運動方程式は　ｆ＝ｍａ　より　ｍａ＝－ｋｘ　であり、この式を満たす　ｘ　を求めると、ｘ＝Ａsin(ωｔ＋α)　となり、単振動であるということになります。振幅Ａ と初期位相α は運動の初期条件から決まる数で、角振動数ω は 物体の質量 ｍ と　復元力の比例定数 ｋ によって決まる数です。

　ｍａ＝－ｋｘ　を満たす　ｘ　を求める計算は、大学初年級の物理ないし数学で出てくる微分方程式を解く計算になります。

お礼

回答ありがとうございます。お礼が遅れて申し訳ありません。
正確なところを教えていただき、ありがとうございました。

回答No.2

foobar

単振動にならない例を考えるというのも手かと思います。
摩擦があると、減衰振動になりますし、摩擦がある一定以上になると振動せずに減衰するようになります。

お礼

回答ありがとうございます。
確かに復元力を受けていても、そのほかに摩擦力を受けていたら、
力の合力は復元力にならないので物体は単振動しませんよね。
質問の仕方がまずかったようです。すみません。
回答番号：No.２の方へのお礼の欄に質問内容を補足しましたので、
よろしければまた回答をよろしくお願いします。

回答No.1

hitokotonusi

復元力がフックの法則に従っていなければ単振動にはなりませんね．
直線上じゃありませんが，振幅の大きな単振り子がこれにあたります．

お礼

回答ありがとうございます。
振幅の大きな単振り子とかの場合は、重りが円軌道を描くと考えられるので、
単振動はしていないな、とわかるからよいのですが、
問題の中で注目した物体が受ける力が、フックの法則に従う
F＝－ｋｘ
であったらすぐさま
その物体は単振動している、と考えてよい理由を知りたいです。
その式を満たしながらも物体が単振動を行わない、ということはありえないのでしょうか？