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1が連なった数に素数はあるか
数学の専門家ではありませんが，最近，数論をかじり始めたアラフォーです。大学入試レベルの整数問題であれば合同式を自己流で振り回して解くことはできますが，位数のあたりでひっかかっている状況です。 あるきっかけから，111，11111，1111111など，1が素数個(2個は除く)連なった数の中に素数があるかどうかを調べていたのですが，17連までは素数ではないことがわかりました。ちなみに， 11111111111111111=2071723×5363222357 でした。 1が合成数個連なった場合は1111=11×101のように容易に分解できることは理解しています。 ということで，1が素数個(2個は除く)連なった数の中に素数はあるか，ないとすればその証明をどなたか教えてください！
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ご質問の素数は「素数レプユニット」や「レプユニット型素数」などと呼ばれ、現時点では下記の５つが知られているようです。 ｎ＝（２，）１９，２３，３１７，１０３１ また、１０３１より大きい「素数レプユニット」が存在するのかについては分かっていないようです。 http://www.muskmelon.jp/maxima/frontier/080817_repunit.pdf http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/566_f3.htm
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1が23個並んだものも素数です。 1が38個並んだものは、以下のように分解されます。何かヒントになりそうに思えませんか？ 11*909090909090909091*1111111111111111111 最後の数は、1が19個（38/2）並んでいます。 それ以上62個まで素数はありません。
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回答ありがとうございます。 なんだか，こういった数式を眺めていると魔道に引き込まれそうな気がしてきますね。現実世界の事柄がどうでもよくなってくるというかなんというか…。
- Tacosan
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いわゆる「repunit」というやつですね. 相当に少ないみたいです.
- 参考URL：
- http://www36.tok2.com/home/kamada/math/11111.htm, http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Repunit.html
お礼
素早い返答ありがとうございます。存在するんですね！
お礼
非常によくわかりました。ありがとうございます。しかし，１９番目は素数でしたか。なかなか計算ソフトで計算が終わらないので断念していたのですが…。素数の世界は奥が深いです。