ｃｏｓｔ の 微分

質問

ｃｏｓｔの微分は　（－ｓｉｎｔ）でｓｉｎｔの微分はｃｏｓｔですね。
ところで円上の点（ｃｏｓｔ，ｓｉｎｔ）の接線の方向ベクトルは
点が第１象限で考えると上方なら、たしかに　（－ｓｉｎｔ，ｃｏｓｔ）ですが下方に伸びるとすれば（ｓｉｎｔ，－ｃｏｓｔ）になると思うのですが、これはどう理解したらよかったのか、ふと今疑問に思うのですが

回答No.2

proto · ベストアンサー

半径1の円をパラメーター表示しようとすれば、
　　(x,y) = (cos(t),sin(t)) 　　(0≦t≦2π)
と書くことが出来ます。
これで考えれば、接線の方向ベクトルは(-sin(t),cos(t))です。

また同じく半径1の円をパラメーター表示する方法には
　　(x,y) = (-cos(t),-sin(t)) 　　(0≦t≦2π)
という書き方もあるのです、
これで考えれば、接線の方向ベクトルは(sin(t),-cos(t))なのです。

式の見た目では表示の仕方が違って見えますが、これらの円は完全に重なります。

お礼

ありがとう。ｔは時刻のつもりです。ｃｏｓｔの微分は－ｓｉｎｔひととおりと記憶していますが　どの点でも逆方向に接線の方向ベクトルを考えるとｃｏｓの符号が同符号でｓｉｎの方が－がつくのが疑問なんですが

回答No.5

arrysthmia

ほう！
その P(cos t, sin t) の t が、媒介変数ではないとでも？

No.4 に書いたように、
接ベクトルの向きは、↑OP を
変数 t によって微分するか、-t によって微分するかで、
逆転する。
反対向きのは、(d/dt) cos t じゃなく、
(d/ds) cos t なんだよ。
後のほうの式は、d/ds の s と cos t の t が、
異なる文字であることに注意。

回答No.4

arrysthmia

そうか！ 「下方に伸びるとすれば」ってのは、
(x, y) = (cos(-s), sin(-s)) と媒介変数表示するって意味か。
そこまで空気読めって？

その場合も、異なる文字(媒介変数)を混同しないことが大切。
(x, y) = (cos t, sin t) = (cos(-s), sin(-s)) と置くならば、
(d/dt)(x, y) = (-sin t, cos t),
(d/ds)(x, y) = (d/ds)(cos s, -sin s) = (-sin s, -cos s) = (sin t, -cos t).

(-sin t, cos t) と (-sin s, -cos s) は、媒介変数が違っているので、
直接には比べられない。文字を t に揃えてから比較すれば、
(-sin t, cos t) と (sin t, -cos t) は、片方ではなく、両方の成分の
符号が変わっている。これは、接ベクトル全体に -1 を掛けたことに当たる。
-1 は dt/ds であって、合成関数の微分則に由来している。

補足

媒介変数はまったく関係ない。円上の点Ｐ（ｃｏｓｔ，ｓｉｎｔ）
とするとＰでの接線の方向ベクトルはＯＰに対して垂直に上方と下方の２とおりあり、上方への方向ベクトルはたしかに（－ｓｉｎｔ，ｃｏｓｔ）になるが下方へのベクトルは（ｓｉｎｔ，－ｃｏｓｔ）になるのではという意味、するとｃｏｓｔの微分が－ｓｉｎｔに限らないのではという疑問

回答No.3

arrysthmia

単位円を (x, y) = (cos u, sin u) と媒介変数表示すれば、
接ベクトルは (d/du)(x, y) = (-sin u, cos u) で、
単位円を (x, y) = (cos (v+π), sin (v+π)) と媒介変数表示すれば、
接ベクトルは (d/dv)(x, y) = (sin v, -cos v) となる。

u の替わりに文字 t を使おうが、
v の替わりに文字 t を使おうが、自由だが、
u, v 両方を t と書くことは、許されない。

(x, y) = (cos u, sin u) = (-cos v, -sin v) だから、
(cos t, sin t) = (-cos t, -sin t) と置いたことになってしまう。

お礼

ありがとう。ｔは時刻のつもりです。別に角度でｘでもθでもいいのですが微分は接線の傾きを表しているから単位円で考えると上方に接線の方向ベクトルを考えるとｃｏｓはたしかに－ｓｉｎになるが下方に方向ベクトルを考えるとｓｉｎが－ｃｏｓになりｃｏｓはｓｉｎになるような気がしますが。それが疑問になっています

回答No.1

f272

点(cos(t),sin(t))から点(cos(t+dt),sin(t+dt))に向かう方向に接ベクトルは向かいます。下方に伸びると考えるのはtの方向と逆ですね。

お礼

なるほど　進行方向へということですが　ｔは時刻のつもりです。ありがとう