サイクロイドの特異点

質問

サイクロイド曲線の特異点について聞きたいのですが…

サイクロイド曲線は媒介変数表示で
r(t)=(a(t-sint),a(1-cost))
と表せますよね？このtにおける接線ベクトルは
dr/dt=(a-acost,asint)

ですよね？dr/dtが0ベクトルになる時、それを特異点と呼ぶらしいですが…
これは、(0≦t≦2π)で考えると、t=0,2πの時、dr/dtは0ベクトルになりますよね？
ということは、サイクロイドは特異点を持つので正則曲線ではないと言っていいのでしょうか？

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

F(x,y) = { f(x,y) }^2 で定義される関数 F を考えると、
f(x,y) = 0 と F(x,y) = 0 は同じ曲線を表しますが、
曲線上の任意の点で dF/dx = dF/dy = 0 となっています。
この事情は、媒介変数表示のときと同じです。
関数 F(x,y) が正則かどうかと、
式 F(x,y) = 0 が表す曲線が正則かどうかは、
別の話だと思います。

回答No.1

arrysthmia

正則曲線とは、正則な媒介変数表示が存在するような曲線
のことを言います。たまたま一つの媒介変数表示が正則か
どうかで決まるのではありません。
この例で、dr/dt = ↑0 となる t が在るということは、
媒介変数表示 r(t) が正則ではないということであって、
サイクロイドが正則曲線か否かは、また別の話です。

試しに、u = cos t で変数変換してみてください。
u による媒介変数表示は正則で、よって、
サイクロイドは正則曲線であると言えます。

正則曲線に、正則な媒介変数表示を与える方法として、
曲線上の固定点から各点までの弧長を媒介変数とする
方法があります。（上記の u は、それとは違います。）

補足

親切な回答ありがとうございます。
それでは、媒介変数の取り方によって正則であるかどうかを判定するのは非常に困難な気がしますね…
デカルト座標系の場合ですと、与えられた関数を0にする(f(x,y)=0)とすると、
f(x,y)=0
df/dx=0
df/dy=0
を満たす点が特異点というらしいのですが…もしもこの理論をサイクロイド曲線に適用した場合は、媒介変数の取り方を調べなくていいのでしょうか？