方向微分係数について

質問

f(x,y)=x^3+3xy+y^2　に対し、y=X^2上の点(1, 1)における接線方向で
x軸と正の角を持つ向きの方向微分係数を求めなさい

このような問題があるのですが、問題の意味がよくわかりません。
解いてくださる方いたらお願いします。

回答No.2

kabaokaba

＞●（疑問１）「方向微分係数」という用語は，あなたの教科書か参考書か解説書に正式に存在する言葉ですか？

「方向微分」(directional derivatives)という言葉は存在します．
「与えられた向きへの方向微分」というような言い方かな．
場の変化を表すのに使われます，
したがって，元の質問の意味は通じます．

>問題の「f(x,y)=x^3+3xy+y^2」は，どう使うのでしょうか？

これは関数です．一般に多変数関数の微分は
軸方向の偏微分がメインですが，これは
xでの偏微分は方向(1,0)への方向微分，
yでの偏微分は方向(0,1)への方向微分です．

質問者は，まず教科書を見直しましょう．
方向微分の定義はでてるはずです．
大学一年生の教科書でも偏微分を扱ってるものには
でていることがあります．

>y=X^2上の点(1, 1)における接線方向で
>x軸と正の角を持つ向きの方向微分係数を求めなさい

(1,1)での接線の方向というのは (1.2) もしくは (-1,-2)です．
これらのうちでx軸と正の角をもつのは (1,2) とすべきでしょう．
＃(-1,-2)も180度超えた正の角ですけど，こっちを
＃除外したいため「x軸と正の角をもつ」なんていう
＃意味不明の条件があるのかも
＃もしかして暗黙の前提にベクトルのなす角 t は
＃-180<t<=180とするとかしてるのかもしれません．

ということで問題は
関数 f(x,y)=x^3+3xy+y^2 の点(1, 1)での
(1,2)方向への方向微分を求めなさい
ということになります．
さらに，方向微分といったときに，方向は単位ベクトルを使いますので
実際は (1/5)^{1/2} (1,2) というベクトルを考えます．

で，方向微分を計算するだけなら
関数の勾配（gradient）と「方向の内積」です．
したがって，x=y=1として
grad(f)・(1/5)^{1/2} (1,2)
=(3x^2+3y,3x+2y)・(1/5)^{1/2} (1,2)
=(1/5)^{1/2} (6,5)・(1,2) = 16/5^{1/2}

回答No.1

Knotopolog

協力したいですが，問題の意味がわかりません．質問者が問題の意味と疑問点をはっきり正確に把握していないと回答者に理解してもらえないので，回答は来ません．
●（疑問１）「方向微分係数」という用語は，あなたの教科書か参考書か解説書に正式に存在する言葉ですか？「微分係数」ならば正式な数学用語ですが，「方向微分係数」はあまり聞いたことがありません．「微分係数」が接線の方向を示すところから，あなたが「方向微分係数」を造語したのですか？
●（疑問２）問題「f(x,y)=x^3+3xy+y^2 に対し、y=X^2上の点(1, 1)における接線方向で，x軸と正の角を持つ向きの方向微分係数を求めなさい」で，「y=X^2上の点(1, 1)における接線方向」というのは，「y=X^2」が放物線ですから，「点(1, 1)における接線」は勾配（方向）が２の直線でx軸から正の方向の角度θがθ＝arctan 2≒63.4度ですが，問題の「f(x,y)=x^3+3xy+y^2」は，どう使うのでしょうか？ そこがはっきりしません．もう一度，問題を分かるように書き直して質問しないと回答は得られません．