T字型回路について

質問

＿＿R___＿＿R＿＿＿
|　　　　　　|　　　　　　　|
V0　　　　　C　　　　　GND
|　　　　　　|　　　　　　　
GND　　　GND　　　　
見づらくて申し訳ありません。学校の課題です。おそらく簡単な問題なのでしょうが、回路苦手なので質問させてください。

上のように電源V0上向き正、抵抗値Rの抵抗２つ、容量Cのコンデンサ１つが接続されています。
このときのCにたまる電荷量Qを求めたいのですが、
Q=CVのVを求められません。その求め方を教えていただきたいです。
ほかの方法でもOKです。

自分のやり方は、３つの素子の電圧や電流をV1などとおき、
ΣVn＝V0, i1=i2+i3, i1*R=V1, i2*R=V2, Q=CV3
と式を立てたのですが、未知数7個に対し、まだ5本しかなく解けません。
残り2本をどうやって作るのか、あるいは別の方法でやるしかないのかご教示ください。

回答No.1

Akanzasi · ベストアンサー

V0って大文字ですが，直流という意味ですか？だとしたら単純に，定常状態でCには電流が流れないので(I3=0)，2つのRの直列接続と等価になり(I1=I2)，Cと並列接続されたRの端子電圧が求められます．この電圧からQが求められると思います．
交流の場合はあなたの式
i1=i2+i3, i1*R=v1, i2*R=v2, Q=Cv3に
v1+v2=v0, v2=v3, v3=1/C∫i3dt(=i3/jωC)を加えて7式になります．
または，上の式を解くのと同じことではありますが，
CR並列部分のインピーダンスZを求め，RとZに分圧の法則を使ってV3を直接求め，Qを得る方法もあります．

お礼

説明不足で申し訳ありません。電源は直流です。

定常状態でＣに電流が流れ込まないことを見落としていました。

交流の解説もしてくださり、ありがとうございます。
分圧の法則もありましたね、勉強しなおしてみます。

ご解答ありがとうございました。

回答No.3

rnakamra

定常状態の場合は他の人が述べているので、過渡状態での求め方について。

まず、式の立て方がおかしい。各素子の両端にかかる電圧で式を立てるよりも各点での電位を元に式を立てたほうが良いでしょう。

この場合、RとRの中間、Cの頭の電位をVとすると
右側のRの両端間電圧は V-0=V
左側のRの両端間電圧は V0-V
Cの両端間電圧は V-0=V
となります。
後は、左側のRに流れる電流をi1,右側のRに流れる電流をi2,Cに流れる電流をi3,Cに蓄えられた電荷をQとしますと、
V0-V=R*i1 (1)
V=R*i2 (2)
Q=CV (3)
i1=i2+i3 (4)
変数が5個(V,i1,i2,i3,Q)に式が4個ですので後一つ式が必要になります。

あともう一つの式は、i3とQの関係にあります。
Cに蓄えられる電荷は当然のことながらi3から供給されたものになります。
i3を積算したものが電荷量となりますが、i3は時間とともに変化していくため単純にi3*時間とする分けには行きません。
この場合、Qはi3を時間について積分したものになります。

Q=∫[0→t]i3dt' (5) (但し、t=0でQ=0)
この式では扱いにくいのでこの両辺を時間で微分して
dQ/dt=i3 (5)'
の式を使います。

後は(1)～(5)'の式を連立しそれを解けば求められます。
当然のことながらこの方程式は微分方程式になります。

なお、この解き方は電源が直流か交流かには関係ありませんのでどちらの場合でも使用できます。交流の場合はインピーダンスから計算したほうが楽ですが。

お礼

なるほど、電圧の式はどこか節点を基準に考えるとわかりやすいですね。
非常に便利なので、ずっとこれを使っていこうと思います。

過渡現象まで詳細に解説して頂き大変助かります。
過渡現象の問題を探して解いてみようと思います。

ありがとうございました。

回答No.2

ruto

V0が直流として答えます。
コンデンサに貯まる電荷量はＱ＝ＣＶですので、この場合、定常状態でコンデンサにかかる電圧は単に1/2・V0ですので
Ｑ＝1/2・C・V0だと思います。
　定常状態ではコンデンサには電流が流れません。
　そのときの電圧Vcは
　Vc＝V0・R/（R＋R）＝V0/2　　となりますので。

お礼

説明不足で申し訳ありません。電源は直流です。

定常状態でＣに電流が流れないのを見落としていました。
それを踏まえて計算したところ、確かにＣにかかる電圧はV0/2となりました。

ありがとうございました。