電気工学：RC回路について

質問

RC回路の話です。
抵抗RとコンデンサCを直列につないだとき、

コンデンサに充電される電荷
　　q = CE{1-e^(-t/RC)}
は導けたんですが、

放電される電荷
　　q = CEe^(-t/RC)
が導けません。
導く過程を書いて教えてください。

質問内容がわかりにくかったらすいません。

回答No.3

ruto · ベストアンサー

放電の微分方程式は：
R・dq/dt+1/C・q=0
これよりqを求めると
q＝Ａe-1/RC・t　　となる。
Aはt＝0とおいて
q＝q0＝CE
∴q＝CEe^-t/RC
解き方は
R・dq/dt＝－1/C・q
変数分離して
dq/q＝－1/RC・dt
これを両辺積分すると
logq＝－t/RC＋a　　　a：積分定数
q＝A・e-t/RC　　　　A：積分定数
A＝CE
∴q＝CE・e－t/RC
となります。

補足

回答ありがとうございます。
回答と同じような方法で充電のほうも教えて頂けませんか？

自分が充電の式を導いた方法より、rutoさんの方法の方が簡単にわかりそうなので…

回答No.4

ruto

>回答と同じような方法で充電のほうも教えて頂けませんか？
R・dq/dt+q/c=E
この微分方程式は定数係数線形微分方程式なので
一般解は、E＝0としたときの解qt（qt＝CE）と特解qsとの和とおいて解く。
　後は自分でやってください。

回答No.2

kondou1129

(1)式と(2)式の立て方ですが、過度問題を解くときは
例えば電荷の特性方程式であれば
q=qs+Ae^(-t/τ) τ=時定数
電流であれば
i=is+Ae^(-t/τ）
この形を前提に解いてもらっていいと思います。
それでも詳しく導出式が知りたい場合は
電気学会大学講座　電気回路論　平山博　大附辰夫　著
のP228～229あたりを参考してください。
図書館、もしくは本屋においてあります。

2つ目の質問ですが、4行目はA=-CEでしたね。すいません。
4行目のqsとAについての文は混乱を招く文ですね。消去してください。
というか、3行目の書き換えますという文も消去してください。
導出の過程としましては
まずはq=qs+Ae^(-t/τ)
とおき、qsに定常状態の値をいれ
t=0の初期条件を考え、Aの値を求める。
という感じです。

回答No.1

kondou1129

とりあえず、充電される電荷の方を例に説明します。
充電の式をq=qs+Ae^(-t/RC)・・・(1)
と書き換えます。
qs=CE , A=CEです。
(1)式の右辺第一項は充電の定常状態。つまり、回路のスイッチをONにして十分時間が経ったときの電荷が入ります。よって十分時間が経つとコンデンサに電荷がたまり電流が流れなくなり回路全体としては電荷がCEあるのでqsにはCEが入ります。
(1)式の第二項はスイッチをONする直前。つまり、t=0のときを考えます。t=0のとき、初期条件としてq(t)=q(0)=0より、(1)式は上記のことも考えてq(0)=CE+Ae^(-0/RC)=CE+A=0
つまりA=-CEになり特性方程式は
q = CE{1-e^(-t/RC)}となります。

では、質問されてる放電も同様に考えてみましょう。
放電はコンデンサに電荷CEが最初から蓄えられているとします。
式は充電と同様です。
q=qs+Ae^(-t/RC)・・・(2)
qsはスイッチONにして十分時間が経ったときの状態ですから、蓄えられていた電荷は一気にながれ十分時間が経つと電荷は0になります。つまり、qs=0となります。
右辺第二項を考えます。
初期条件として、最初に書いたようにt=0で全体として電荷がCE蓄えられていたわけですから、q(0)=CEです。(2)式は上記も考慮すると
q(0)=0+Ae^(-0/RC)=A=CE
となります。
つまり、特性方程式は
q=CEe^(-t/RC)となります。

補足

早急な回答ありがとうございます。
自分の導き方と違ったんで、更に疑問が増えたんですが…

[1] 式(1),式(2)はどういう理由で式をたてることができたンですか？

[2] 4行目の q s = CE , A = CE ってのは何の説明なんですか？
　　 8行目で A = - CE ってのを求めてますよね？

これがわかるとすべて解決できると思うんですが…
もう一度回答して頂けると嬉しいです。