区間内で解を持つ事の証明

質問

m>1、　mx=tan(x) は区間(0,π/2）で解を持つ事を証明せよ。

これを、グラフを用いず証明するにはどうしたら良いのでしょう？

回答No.1

Kules

グラフを用いず、というのは実際にグラフを描かずに、ということでしょうか？
（増減表を書いたりする時は多少なりともグラフの形を「イメージ」したりはするでしょうから）

f(x)=g(x)が解を持つ場合、グラフ的には次の２つのパターンが考えられます。
(1)交点を持つ。
(2)接点を持つ。

これを、グラフを使わない形に言い換えると次のようになります。
(1)大小関係が逆転する。
(2)大小関係は同じだが、一度等しくなる時がある

つまり、左辺と右辺どちらが大きいか、のような議論にするわけです。
ただ、両方関数（xによって動く値）だとメンドクサイので、
h(x)=f(x)-g(x)
として
h(x)=0を満たすxがあることを示す問題に変えてしまいましょう。
このようにすると、上の(1)、(2)はさらに次のように書きかえられます。
(1)途中で正負が逆になる（負から正or正から負）
(2)符号は同じだが、一度0になる

(1)を考える場合は、
・連続である
・ある地点においてマイナスである
・ある地点においてプラスである
ことが示されればよいです。（例えば関数が０～１の範囲で連続で、0.2の時マイナス、0.4の時プラスであれば、0.2～0.4の間のどこかで符号が逆になっているので、解を持つことになります）
この議論にもちろん単調増加、単調減少の話を絡めてもかまいません。

(2)を考える場合は、
・連続である
・単調減少から単調増加に切り替わっており、その切り替わる点におけるh(x)の値が0である。または、
単調増加から単調減少に切り替わっており、その切り替わる点におけるh(x)の値が0である
ことが示されればよいです。

こんな感じでどうでしょう？一応グラフを一度も描かずに解答を作ったつもりですが。

参考になれば幸いです。