教えてください 数学IIです。

質問

mがm＞0の値をとるとき、直線y=2mx+m^2-1....(1)の通り得る範囲を次の3通りの方法で求めよ。

(1)(1)をmの方程式と考える。
(2)yをmの関数と考える。
(3)mの値によらず直線(1)が一定の放物線に接することを用いる。

お手数をおかけしますがよろしくお願いします。
解説もつけていただければ幸いです。

回答No.2

mister_moonlight

(1)と(2)については、方針だけ示しておく。

＞(1)(1)をmの方程式と考える。

mの方程式と考えれば、2次方程式だから、その方程式がm＞0の解を少なくても1つ（従って、2つの場合もある）条件を考える。

＞(2)yをmの関数と考える

mについて平方完成すれば、yはmの2次関数で下に凸。
従って、その時の最小値を考えると良い、-x＞0と、-x≦0の場合の2通りある。

実際の計算は自分でやって。

回答No.1

mister_moonlight

解法の(1)と(2)はありふれた方法だから、誰かが解説してくれるだろうから、(3)の方法だけ書いておく。

＞(3)mの値によらず直線(1)が一定の放物線に接することを用いる

直線y=2mx+m^2-1....(1)はある放物線の“包絡線”と言われているものである。
下のＵＲＬを参考にして欲しい。

http://www.synapse.ne.jp/dozono/math/anime/envelope.htm

mの方程式と考えると、mが実数から、判別式≧0.
これが、とりあえず　m＞0　を無視した時の直線(1)の通過領域である。
判別式＝0から出る、y＋x＾2＋1＝0　‥‥(2)　と直線：y＝2mx+m^2-1　‥‥(1)　を連立すると、（m＋x）＾2＝0となり重解を持つから、(1)は(2)に接する。つまり、(1)は(2)の接線である。
そこで、m＞0を考えると、放物線(2)の接線(2)がm＞0の範囲で動き得る領域は、設問の(1)と(2)と同じ結果になる。

補足

わかりやすい解説誠にありがとうございます。
しかし当方(1)と(2)にものすごく悩んでいるのです。
解答を示していただけないでしょうか