根号を含む方程式

質問

家で趣味的に方程式を作っていたところ
自分では解けそうにない式にぶつかってしまいました。
　x+2{1-√(x-a)}{1-√(x-b)}=1　　ただし、0<b<a<x<1
です(xについての方程式です)。
aとbが可換なこととかを使って解くのでしょうか?

よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

参考までに。

数値計算で調べてみると
1>x>a>b>1/3では解が存在しないようですね。
b<=1/3でもaの値が1に近づくと解が存在しなくなりますね。

解が存在する場合は最大2個です。
解を解析的に求めることは難しいです。つまり数値計算で解を求めるしか無いですね。

回答No.4

Mr_Holland

＃２です。
　補足を拝見しました。
＞でも、なかなか最後の式から先へ進めません(泣)

　この４次方程式を解析的に解くのは、かなり大変のようですね。
　４次方程式は原理的には解けるはずですので、手間さえ掛ければ必ず解けます。
　しかし・・・、数式処理ソフトMAXIMAを使っても、 << Expression too long to display! >>と表示されて、かなりかなり複雑な式になりそうですよ。

　趣味で解くなら、やるだけやってみてもよいと思いますが、忍耐力との勝負になるかも・・・

回答No.2

Mr_Holland

x+2{1-√(x-a)}{1-√(x-b)}=1
⇔√(x-a)√(x-b)-√(x-a)-√(x-b)＝-(x+1)/2
∴ √(x-a)+√(x-b)＝√(x-a)√(x-b)+(x+1)/2　・・・（１）

　√(x-a)√(x-b)-√(x-a)-√(x-b)＝-(x+1)/2
⇔√(x-a)√(x-b)＝√(x-a)+√(x-b)-(x+1)/2
⇒(x-a)(x-b)＝(x-a)+(x-b)+(x+1)^2/4+2√(x-a)√(x-b)-(x+1){√(x-a)+√(x-b)}　（両辺を自乗）
⇔(x-a)(x-b)＝(x-a)+(x-b)-(x+1)^2/4-(x-1)√(x-a)√(x-b)　（式（１）を代入）
⇔(x-1)√(x-a)√(x-b)＝(x-a)+(x-b)-(x+1)^2/4-(x-a)(x-b)

　この式の両辺を自乗すれば、４次方程式に帰着します。

補足

ありがとうございます。
(1)式の両辺を2乗するだけでも最後の式は出るようですね。
でも、なかなか最後の式から先へ進めません(泣)

回答No.1

Tacosan

移項して 2乗して移項して 2乗してってやると 4次方程式になりそうな気もします.