二重積分を教えてください。

質問

∫∫log(r)dxdy
-a≦x≦a, -b≦y≦b

原点からの距離ｒにおける座標は(l,m)です。

ご教授をお願いします。

回答No.4

Water_5

素直に
r=√(x^2+y^2)でよいはずで、それをやらないその問題は
欠陥問題と言える。欠陥問題は解けるはずがない。

お礼

ありがとうございました。
思いつきました。

回答No.3

info222_

No.2です。

問題についての質問です。
ANo.2の補足の
　r=√｛　(l-x)^2　+　(m-y)^2　｝
の(l,m)と積分領域-a≦x≦a, -b≦y≦bについて

図の原点付近の□範囲との関連はどうなってますか？
図の文字が薄く、ぼやけてて判読できません。
□の範囲が積分領域ですか？
つまり
|x-a|<<l, |y-b|<<m
といった条件が成り立っているのでしょうか？

お礼

どうもです。

補足

四角のｘ方向の範囲は2a、ｙ方向の範囲は2bです。積分範囲は四角の内部です。

回答No.2

info222_

>原点からの距離ｒにおける座標は(l,m)です。
「(l,m)」は「(x,y)」の間違いでは？
つまり、r=√(x^2+y^2)ということではないでしょうか？

そうなら、a>0, b>0, r=r(x,y)=√(x^2+y^2)>0 として
I=∫∫[D]} log(√(x^2+y^2))dxdy,　D={(x,y)| -a≦x≦a, -b≦y≦b}

対称性より
I=4 I1
I1=∫∫[D1]} log(√(x^2+y^2))dxdy,
　D1={(x,y)| 0≦x≦a, 0≦y≦b (xy≠0)}
I1=∫[0,a]dx∫[0,b] log(√(x^2+y^2))dy
　=∫[0,a]dx∫[0,b] (1/2)log(x^2+y^2)dy
　=∫[0,a] ([(y/2)log(x^2+y^2)-y+x tan^-1(y/x)][y:0,b]) dx
　=∫[0,a] { (b/2)log(x^2+b^2)-b+x tan^-1(b/x) } dx
　= [(b/2)xlog(x^2+b^2)-3(b/2)x
　　+(1/2)(b^2*tan^-1(x/b)+x^2*tan^-1(b/x))] [0,a]
これは広義積分になるので極限をとって
=[(b/2)xlog(x^2+b^2)-3(b/2)x
　　+(1/2)(b^2*tan^-1(x/b)+x^2*tan^-1(b/x))](x=a)
　-lim(x→+0)[(b/2)xlog(x^2+b^2)-3(b/2)x
　　+(1/2)(b^2*tan^-1(x/b)+x^2*tan^-1(b/x))]
=(ab/2)log(a^2+b^2)-(3ab/2)+(1/2){a^2*tan^-1(b/a)+b^2*tan^-1(a/b)}

∴I=4I1=2ablog(a^2+b^2)-6ab+2a^2*tan^-1(b/a)+2b^2*tan^-1(a/b) …(答)

お礼

どうもです。

補足

r = √｛　(l-x)^2　+　(m-y)^2　｝となります。
宜しくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat

r→0で、log(r)→-∞ なんで積分は発散します。

お礼

局所的にはそうなると思いますが、もっと緻密にお願いします。
ありがとうございます！