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境界における差分公式
現在,微分方程式を数値解析にて解いております. 普通の差分公式については,検索して見つけることができたのですが,境界における二階微分を表す方法がわかりません. ∂f(j)/∂x=(1/2Δ)*f(-3f(j)+4f(j+1)-f(j+2) というような,1階微分での表し方は見つかりましたが,そもそもこれの導出もよくわかりません. どなたか,教えていただけないでしょうか?
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境界における二階微分をどういう式で使うのかわからないが,適当に作ってみた。 ∂^2f(j)/∂x^2=(1/Δ^2)*(2f(j)-5f(j+1)+4f(j+2)-f(j+3)) 考え方としては ∂f(j+1/2)/∂x=(1/Δ)*(-f(j)+f(j+1)) ∂f(j+3/2)/∂x=(1/Δ)*(-f(j+1)+f(j+2)) ∂f(j+5/2)/∂x=(1/Δ)*(-f(j+2)+f(j+3)) から ∂^2f(j+1)/∂x^2=(1/Δ)*(-∂f(j+1/2)/∂x+∂f(j+3/2)/∂x)=(1/Δ^2)*(f(j)-2f(j+1)+f(j+2)) ∂^2f(j+2)/∂x^2=(1/Δ)*(-∂f(j+3/2)/∂x+∂f(j+3/2)/∂x)=(1/Δ^2)*(f(j+1)-2f(j+2)+f(j+3)) を作って,これらの2:1の外分点として ∂^2f(j)/∂x^2=(2*∂^2f(j+1)/∂x^2-∂^2f(j+2)/∂x^2)/(2-1) を求めます。
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やり方は色々あると思いますが、自分は簡単に次のようにやってます。 境界の一歩手前の節点の2階差分は、境界上の点0,その点1,その隣の点2から求めてると思いますが、境界上の点0の2階差分は、同じ点トリオ(0,1,2)上での3つ値を通る2次曲線は一意に決まるので、2次曲線の2次の係数を使ってます。もっと良い方法はあるでしょうが、簡単なので。 たぶん定版の方法があるはずです。具体的にちょっと詳しい本で調べた方が良いと思います。
お礼
詳しく書いていただいてありがとうございました。 おかげで卒業できそうです。 ありがとうございました。